5. Явные схемы.

Явные схемы имеют важное достоинство: они просто записываются и легко программируются на ЭВМ. Поэтому предпринималось много попыток построить для параболического уравнения хорошую явную схему. Однако все эти попытки были неудачными.

Например, Ричардсоном была предложена трехслойная схема, использующая шаблон рис. 77 с аппроксимацией производных двусторонними разностями:

Из симметрии схемы легко усмотреть, что локальная погрешность ее аппроксимации есть Однако схема Ричардсона непригодна для расчетов, ибо она безусловно неустойчива. В самом деле, используем метод разделения переменных и сделаем подстановку поскольку схема трехслойна, надо дополнительно положить для множителя роста получим квадратное уравнение

один из корней которого при любом по модулю больше единицы на величину

Дюфорт и Франкел в 1953 г. видоизменили схему Ричардсона, заменив в правой части (26) величину на

(28)

Эта схема также явно разрешается относительно Методом разделения переменных нетрудно показать, что она безусловна устойчива. Однако погрешность аппроксимации схемы (28) равна , т. е. аппроксимация условная. Поэтому сходимость имеет место, только если при 0.

Фактически, чтобы в расчетах по схеме (28) получить точность надо положить как в явной схеме (6). Правда, коэффициент пропорциональности можно брать любым, ибо его величина влияет только на точность расчета, а не на устойчивость.

Поэтому схема Дюфорта—Франкела удобнее явной схемы (6), но ненамного.

Плохие качества явных схем обусловлены одним принципиальным ограничением: явная схема для параболического уравнения может сходиться, только если при . В самом деле, пусть решение в точке нового слоя выражается через точек исходного слоя, т. е. через отрезок длиной (рис. 78). Тогда оно выражается через отрезок нулевого слоя длиной этот отрезок будет зоной влияния. Для точного решения зона влияния бесконечна. Значит, сходимость к точному решению при возможна, только если дополнительно что и требовалось доказать.

Рис. 78.

Этот результат можно уточнить.

В п. 1 отмечалось, что для промежутка времени эффективной зоной влияния является отрезок Следовательно, условие сходимости явных схем должно иметь вид

Поэтому для параболического уравнения неявные безусловно устойчивые схемы дают лучшие результаты, чем явные.

Отметим одну любопытную схему для уравнения теплопроводности — схему бегущего счета на шаблоне рис. 79. На четных слоях счет идет слева направо (рис. 79, а) по формулам

а на нечетных слоях — справа налево (рис. 79, б) по симметрично преобразованным формулам

Организация расчета здесь так же проста, как в явных схемах. В то же время зона влияния бесконечна благодаря наличию двух точек верхнего слоя в каждом уравнении (29); поочередная смена направления расчета обеспечивает бесконечность зоны влияния в обоих направлениях.

Рис. 79.

Методом разделения переменных нетрудно проверить, что схема (29) безусловно устойчива. Невязка каждого из уравнений (29а) и (296), вычисленная разложением относительно центров, показанных на шаблонах рис. 79 крестиками, есть Если бы расчет производился только по одному из этих уравнений, т. е. использовалась бы односторонняя схема бегущего счета, то именно таким был бы порядок точности.

Однако при сложении погрешностей прямого и обратного хода на последовательных слоях происходит их частичная компенсация.

Поэтому двусторонняя схема бегущего счета (29), как показывает более детальный анализ, сходится со скоростью

Тем самым, она по своим свойствам близка к схеме Дюфорта — Франкела (28).