7. Разрывные коэффициенты.

Во всех предыдущих пунктах явно или неявно предполагалось, что правые чаёти рассматриваемых дифференциальных уравнений непрерывны вместе с некоторым числом своих производных. Однако в задачах о слоистых средах коэффициенты уравнений (коэффициентами являются различные свойства вещества — плотность, теплопроводность, упругость и т. д.) обычно разрывны на границах раздела двух сред, т. е. во внутренних точках

Бегло рассмотрим, как переносятся на этот случай развитые выше методы. Сделаем это на примере уравнения

Сначала обсудим характер решения. Если или кусочнонепрерывны, то также лишь кусочно-непрерывна. Очевидно, в точке разрыва аппроксимировать вторую производную разностным соотношением нельзя.

Еще сложней случай разрыва в некоторой точке При этом решение краевой задачи становится, вообще говоря, не единственным. Существует множество обобщенных решений, каждое из которых удовлетворяет своему условию согласования в точке . Для выделения единственного решения требуется поставить в этой точке внутреннее краевое условие; оно выбирается из физических соображений и должно входить в полную постановку задачи.

Пусть, например, (86а) есть уравнение теплопроводности в стержне, составленном из разных материалов, — коэффициент теплопроводности. Тогда дополнительным условием будет непрерывность температуры и теплового потока в точке соединения

Поэтому и в методе стрельбы, и в разностном методе все точки разрыва коэффициентов выбирают в качестве узлов сетки; такие сетки называют специальными.

В методе стрельбы до прихода (для определенности слева) в такую точку пользуются «левыми» значениями коэффициентов.

Придя в эту точку, при помощи внутреннего краевого условия формируют новые начальные условия. Например, в задаче (86) это будут условия

Затем продолжают численное интегрирование, пользуясь уже «правыми» значениями коэффициентов.

В разностном методе для точки разрыва вместо аппроксимации дифференциального уравнения (86а) можно записать аппроксимацию внутреннего краевого условия (866), или можно составить такую разностную схему, которая применима во всех точках, включая точку

В методе Галеркина систему функций следует выбирать так, чтобы линейная комбинация (84) при. любых значениях коэффициента удовлетворяла внутреннему краевому условию.