2. Метод стрельбы.

В задачах на собственные значения имеются естественные пристрелочные параметры — величины V, поэтому такие задачи нередко решают методом стрельбы. Основные черты этого метода те же, что и для краевых задач; рассмотрим детали метода на двух примерах.

Простейший пример — задача для одного уравнения первого порядка с одним параметром и двумя краевыми условиями

Если отбросить правое краевое условие и выбрать некоторое значение X, то (87) превратится в задачу Коши. Численно интегрируя ее, получим решение и , удовлетворяющее левому краевому условию и зависящее от параметра X. Вообще говоря, , т. е. это решение не удовлетворяет правому краевому, условию. Тогда будем варьировать до тех пор, пока не получим с требуемой точностью. Разумеется, при варьировании используют обычные методы нахождения корня алгебраического уравнения, как это было сделано в § 2, п. 2.

Другой пример — это классическая задача на собственные значения уравнения второго порядка при нулевых краевых условиях

Уравнение имеет второй порядок и содержит одно собственное значение; следовательно, задача требует трех дополнительных условий. Но в силу линейности и однородности решение определено с точностью до множителя; это и есть неявное задание третьего условия. Формально третье условие здесь удобно задать в форме и (что возможно, если конечны).

Тогда можно взять для исходного уравнения задачу Коши с начальными условиями и вести пристрелку параметра Я до выполнения правого краевого условия.

Заметим, что линейность уравнения и краевых условий не упрощает стрельбу, ибо зависимость и от параметра все равно остается нелинейной.

Метод стрельбы удобно применять, если стрельба является однопараметрической, как это было в рассмотренных примерах. Если это требование не выполнено, то алгоритмы стрельбы сильно усложняются и становятся менее надежными; тогда выгодней использовать разностный метод.

Метод стрельбы трудно применять также в том случае, если задача Коши плохо обусловлена. Тогда малая вариация к может резко изменить решение и и даже вывести его за пределы представимых на ЭВМ чисел. При этом невозможно организовать процесс решения алгебраического уравнения типа

Иногда, как и в краевых задачах, помогает смена направления интегрирования (но ее применяют только, если от этого не увеличивается число параметров пристрелки).