7. Формулы Гаусса — Кристоффеля.

Параметрами формулы интегрирования (3) являются узлы и веса. Однако, строя формулы трапеций, Симпсона, Эйлера, мы заранее задавали узлы и по ним находили веса. Поэтому мы не полностью использовали возможности общей формулы. Только в формуле средних мы подобрали положение узла из соображений симметрии, что привело к существенному улучшению формулы.

Формула (3) с узлами содержит всего параметров; столько же коэффициентов у многочлена степени Значит, параметры можно подобрать так, чтобы квадратурная формула (3)

была точна для любого многочлена степени не выше Покажем, как находятся узлы и веса этих формул.

Будем считать, что вес положителен и непрерывен на ; он может обращаться в нуль или в бесконечность на концах отрезка так, чтобы существовал . Известно, что при выполнении этих условий существует полная система алгебраических многочленов ортогональных на с заданным весом:

Все нули этих многочленов действительны и расположены на интервале

Составим по узлам интегрирования многочлен степени Функция при есть многочлен степени не выше значит, для нее формула Гаусса — Кристоффеля точна. Тогда получим

так как

Значит, многочлен ортогонален всем многочленам степени

Если разложить в ряд по нашим ортогональным многочленам и этот ряд подставить в условие ортогональности (27), то получим

т. е. все коэффициенты разложения при . Это значит, что с точностью до численного множителя совпадает с . Значит, узлами формулы Гаусса — Кристоффеля являются нули многочленов соответствующей степени ортогональных на с весом

Веса интегрирования нетрудно определить, если узлы уже найдены. Функция

есть многочлен степени , т. е. для нее формула Гаусса—Кристоффеля точна. Подставляя ее в формулу (3) и учитывая, что эта функция равна нулю во всех узлах, кроме получим веса формулы Гаусса — Кристоффеля

Из этого выражения ничего нельзя сказать о знаке веса. Но если подставить в формулу интегрирования многочлен степени для которого формула также точна, то получим соотношение

из которого видно, что все веса положительны. Подставляя в формулу Гаусса , получим соотношение

из которого следует равномерная ограниченность весов.

Для наиболее употребительных весовых функций узлы и веса формул Гаусса — Кристоффеля приведены в Приложении вместе с соответствующими ортогональными многочленами.

Формулы Гаусса — Кристоффеля называют также формулами наивысшей алгебраической точности, поскольку для произвольного многочлена степени выше формула (3) с узлами уже не может быть точной.

Заметим, что в принципе можно не обращаться к ортогональным многочленам, а просто подставить в (3) функции вида и получить систему уравнений для определения узлов и весов интегрирования

(Величины называются моментами весовой функции.) Однако это нелинейная система; найти и исследовать ее решение очень трудно даже при небольших .

Рассмотрим некоторые частные случаи.

а) Собственно формула Гаусса соответствует . Линейным преобразованием аргумента можно перейти к отрезку . На нём ортогональны с единичным весом многочлены Лежандра. Если обозначить их узлы и соответствующие веса через , то обратным линейным преобразованием можно получить узлы и веса для произвольного отрезка

В частности, при долучаем формулу средних. Погрешность формулы Гаусса (выражение для которой мы приводим без вывода) пропорциональна той производной, которая соответствует низшей неучтенной степени аргумента; верхняя граница погрешности равна

Формула Гаусса рассчитана на функции, имеющие достаточно высокие производные, причем не слишком большие по абсолютной величине. Для таких функций формула обеспечивает очень высокую точность при небольшом числе узлов, ибо численный коэффициент в остаточном члене быстро убывает с ростом .

б) Формула Эрмита позволяет интегрировать на отрезке с весом При этих условиях ортогональны многочлены Чебышева первого рода

Соответствующие узлы и веса интегрирования равны

Отметим, что веса во всех узлах одинаковы. На произвольный отрезок эти узлы и веса преобразуются так же, как в формуле Гаусса. Погрешность формулы Эрмита не превышает

в) По формулам Гаусса — Кристоффеля возможно вычисление несобственных интегралов на полупрямой если весовая функция равна то ортогональными будут многочлены Лагерра То же относится к интегралам на всей прямой — при весе только ортогональными будут многочлены Эрмита. Соответствующие примеры имеются в § 2.