6. Метод Галеркина.

Многие приближенные методы пригодны для нахождения собственных значений и собственных функций задач, у которых краевые условия линейны относительно функции и ее производных. Среди этих методов к наиболее простым вычислениям приводит метод Галеркина.

Метод формулируется почти так же, как для краевых задач. Ищем решение задачи в виде линейной комбинации отрезка полной системы функций

выбранной так, чтобы удовлетворялись краевые условия. Потребуем, чтобы выполнялись условия ортогональности

Эти условия образуют алгебраическую систему уравнений с неизвестным . Недостающее уравнение надо полудить из одного из краевых условий.

По тем же соображениям, что и в краевых задачах, удобнее пользоваться ортогональными системами функций . В линейных задачах вычисления при этом заметно упрощаются. Пример. Рассмотрим задачу (95)

и воспользуемся полной системой многочленов которые заметно отличаются от точного решения задачи. Одним из дополнительных условий является условие нормировки решения. Благодаря линейности задачи его можно формулировать разными способами; для удобства вычислений зададим его в форме что означает Тогда, полагая и 2, легко получим первые приближения

Первое собственное значение определилось с хорошей точностью, второе — с много худшей.

Методом Галеркина можно довольно хорошо находить наименьшие собственные значения. Но точность определения собственных функций обычно заметно хуже.

Обоснование метода Галеркина сложно. В частном случае, если дифференциальный оператор А линеен и однороден относительно , система (99) является задачей на определение собственных значений матрицы. Для задачи Штурма—Лиувилля метод Галеркина приводит к тем же самым алгебраическим уравнениям, что и метод Ритца (сходимость которого в задачах Штурма—Лиувилля доказана).