ЗАДАЧИ

1. Доказать теорему о сходимости метода Пикара, сформулированную в § 1, п. 3.

2. Вывести оценку (10) скорости сходимости метода Пикара.

3. В методе малого параметра вывести формулы для коэффициентов и функций в уравнениях (12).

4. Найти приближенное решение уравнения (3) методом малого параметра.

5. Для системы двух уравнений (25) написать схемы Рунге—Кутта второго порядка точности, аналогичные (22) и (23).

6. Для уравнения химического распада (34) составить схемы Рунге—Кутта второго и четвертого порядка точности и выяснить ограничения на шаг в этих схемах, следующие из положительности решения.

7. Составить для уравнения химического распада (34) специальную схему интегрирования по третьему способу из § 1, п. 8.

8. Вычисляя в (41) интеграл от второго слагаемого по формуле трапеций, получить неявную специальную схему; исследовать ее точность и найти ограничение на шаг сетки.

9. Написать формулы метода стрельбы применительно к краевой задаче (46) для одного дифференциального уравнения второго порядка.

10. Составить формулы метода Ньютона для нахождения корня уравнения (626), возникающего при решении краевой задачи (60) методом стрельбы.

11. Решить краевую задачу (69) методом Галеркина, выбрав ортогональную систему функций сравнить результат с примером, приведенным в § 2, п. 6.

12. Для итерационного процесса при решении задачи на собственные значения (87) баллистическим методом составить а) формулы методу секущих, б) формулы метода Ньютона.

13. Для задачи на собственные значения (95) найти разностным методом при первую собственную функцию и уточнить ее по правилу Рунге; ответ сравнить с точным решением.