Главная > Математика > Численные методы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Уравнения высокого порядка

Или системы большого числа уравнений имеют соответствующее число краевых условий, и способы задания этих условий достаточно разнообразны. Поэтому к таким задачам применять метод стрельбы много труднее, чем к простейшей задаче (50).

Рассмотрим тот (сравнительно несложный) случай, когда для системы уравнений

дополнительные условия заданы только на концах отрезка и имеют следующий вид:

Для определенности, будем полагать

Выберем за исходный тот конец отрезка , где задана большая часть краевых условий; в нашем случае это будет левый конец . В качестве пристрелочных параметров возьмем каких-то функций из полного набора, например,

Если подставить эти значения в левые краевые условия (606), то эти условия образуют систему алгебраических уравнений относительно начальных значений остальных функций; решая эту систему, найдем

Рассмотрим задачу Коши для системы уравнений (60а) с начальными условиями (61а, б). Решение этой задачи, которое можно найти численным интегрированием, удовлетворяет левому краевому условию (606) и зависит от параметров

Подстановка этого решения в правые краевые условия (60в) определяет вспомогательные функции параметров

те значения параметров, которые удовлетворяют системе алгебраических уравнений

определяют искомое решение краевой задачи (60).

Напомним, что решение системы алгебраических уравнений высокого порядка само по себе является нелегкой задачей. Здесь оно осложняется тем, что вычисление функций очень трудоемко, ибо требует численного интегрирования системы дифференциальных уравнений. Явный вид этих функций неизвестен, так что преобразовать систему (626) к эквивалентной форме и применять метод последовательных приближений затруднительно. А если мы захотим, как в п. 2, построить аналог метода Ньютона, то для вычисления матрицы производных надо будет дополнительно записать и численно интегрировать систему дифференциальных уравнений.

Отсюда видно, что «пристрелка» большого числа параметров очень сложна. Поэтому для нелинейных задач метод стрельбы употребляют в основном тогда, когда Такие постановки краевых задач нередко встречаются в системах большого числа уравнений.

Линейные, уравнения. В этом случае метод стрельбы сильно упрощается и позволяет легко решать задачи при любом числе параметров . В самом деле, функции будут линейными, т. е. они однозначно определяются по своим значениям в точке . Значит, выполнив интегрирование задачи Коши (60а), (61) с разными наборами параметров, можно найти искомый набор параметров Тогда интегрирование даст решение краевой задачи (60).

Вычисления при этом удобно вести следующим образом. Сначала возьмем некоторый набор параметров и обозначим полученные значения функций (62а) через . Затем изменим первый параметр на величину т. е. возьмем набор и обозначим полученные значения функций через . Затем возьмем набор и т. д. Выполнив полный цикл вычислений, можно записать каждую функцию в виде многомерного интерполяционного многочлена Ньютона первой степени (2.33):

Приравнивая эти функции нулю, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения искомых параметров

Заметим, что можно уменьшить на единицу число интегрирований системы линейных дифференциальных уравнений, если воспользоваться приемом, описанным в п. 2; но при большом значении это лишь незначительно сокращает общий объем вычислений, а организацию расчета усложняет.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление