3. Некоторые частные случаи.

Косоэрмитова матрица А умножением на i превращается в эрмитову матрицу для эрмитовой же матрицы проблема собственных значений решается гораздо легче, чем для неэрмитовых. Для комплексных матриц этот способ наиболее удобен.

Для вещественных косоэрмитовых (кососимметричных) матриц он несколько менее выгоден, ибо после умножения на приходится все остальные действия выполнять с комплексными числами.

Обобщенная проблема собственных значений

особенно легко решается, если матрицы А и В эрмитовы и одна из них — положительно определенная. Будем считать, что положительно определена вторая матрица (если положительно определена матрица А, то задачу (67) надо переписать в виде .

Разложим матрицу В методом квадратного корня (см. главу V, § 1) в произведение двух треугольных благодаря положительной определенности матрицы В в этом разложении отсутствует диагональная матрица. Тогда можно переписать исходную задачу (67) в следующем виде:

Вычисление треугольной матрицы S, ее обращение и нахождение матрицы С выполняются за действий. Легко проверить, что С — эрмитова матрица; таким образом, задача свелась к хорошо изученной.

Замечание. Запись задачи (67) в виде невыгодна, ибо матрица не будет, вообще говоря, эрмитовой.

Нормальную матрицу А по теореме Шура можно привести к диагональной форме унитарным преобразованием подобия. Например, если уничтожены все элементы нижней половины, то в силу нормальности матрицы полученная верхняя треугольная матрица будет диагональной.

Чтобы реализовать эту идею, были предложены разные варианты итерационного метода вращений: циклическое аннулирование поддиагональных элементов, или уменьшение поддиагональной части сферической нормы. Однако они оказались неудачными: были построены примеры, в которых эти процессы сходились к недиагональным матрицам.

Удовлетворительным оказался довольно искусственный вариант. Рассмотрим преобразование , производимое унитарными матрицами вращения (оно не является преобразованием подобия). Если углы поворота справа и слева разные, то их можно подобрать так, что на каждом повороте недиагональная часть сферической кормы уменьшается, а бесконечная цепочка преобразований приводит матрицу к диагональной форме: , где

Теперь рассмотрим преобразование подобия , выполненное найденной матрицей поворота. Можно доказать, что в матрице В равны нулю (разумеется, приближенно) все недиагональные элементы, кроме тех, которые лежат на пересечении строк и столбцов, для которых диагональные элементы вспомогательной матрицы D равны между собой по модулю: если .

Сделаем такую перестановку столбцов и строк с одинаковыми номерами (а это — преобразование подобия), чтобы в матрице D равные по модулю диагональные элементы заняли соседние места вдоль диагонали. Такая перестановка приводит матрицу В к квазидиагональной форме, после чего задача на собственные значения легко решается (если размеры клеток невелики).