ГЛАВА IX. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

В главе IX рассмотрены методы численного решения задач для уравнений в частных производных. В § 1 обсуждены некоторые постановки задач и дан обзор методов, которыми решаются подобные задачи. Остальные параграфы содержат изложение основ наиболее широко применяемого и хорошо изученного метода — разностного. В § 2 рассмотрены способы построения разностных схем и введено понятие аппроксимации. В § 3 даны методы исследования устойчивости разностных схем. В § 4 доказаны основные теоремы о сходимости разностного решения к точному.

§ 1. Введение

1. О постановках задач.

Движение систем малого числа частиц математически описывают, как правило, обыкновенными дифференциальными уравнениями. Если же число частиц очень велико, то следить за движением отдельных частиц практически невозможно. При этом удобнее рассматривать систему частиц как сплошную среду, характеризуя ее состояние средними величинами: плотностью, температурой в данной точке и т. д.

Математические модели сплошной среды приводят к уравнениям в частных производных, которым удовлетворяют упомянутые средние величины. Например, изменение температуры в неподвижном теле описывается уравнением теплопроводности

где — температура, с — теплоемкость, — коэффициент теплопроводности и q — плотность источников тепла.

К уравнениям в частных производных приводят задачи газодинамики, теплопроводности, переноса излучения, распространения нейтронов, теории упругости, электромагнитных полей, процессов переноса в газах, квантовой механики и многие другие.

Независимыми переменными в физических задачах обычно являются время t и координаты бывают и другие переменные, например, скорости частиц v в задачах переноса. Решение требуется найти в некоторой области изменения независимых переменных

Полная математическая постановка задачи содержит дифференциальное уравнение, а также дополнительные условия, позволяющие выделить единственное решение среди семейства решений дифференциального уравнения. Дополнительные условия обычно задаются на границе области

Если одной из переменных является t, то чаще всего рассматривают области вида

т. е. решение ищут в некоторой пространственной области на отрезке времени . В этом случае дополнительные условия, заданные при называют начальными, а дополнительные условия, заданные на границе области граничными или краевыми.

Задачу, у которой имеются только начальные условия, называют задачей Коши. Например, для уравнения теплопроводности (1) в неограниченном пространстве можно поставить задачу с начальными условиями

Если — кусочно-непрерывная ограниченная функция, то решение задачи (1), (3) единственно в классе ограниченных функций (при некоторых ограничениях на коэффициенты уравнения; см. [40]).

Задачу с начальными и граничными условиями называют смешанной краевой задачей или нестационарной краевой задачей. Для уравнения (1) дополнительные условия такой задачи могут иметь, например, вид

Для этого уравнения допустимы и другие граничные условия, например, содержащие нормальную производную решения.

Встречаются задачи, в которых область имеет другой вид. Примером является задача с условиями на характеристиках (см. [40]), возникающая при изучении процессов сушки, сорбции газов и многих других.

При исследовании установившихся состояний или стационарных (не зависящих от времени) процессов в сплошной среде формулируются математические задачи, не зависящие от времени. Их решение ищется в области , а дополнительные условия являются граничными. Такие задачи называют краевыми.

Мы ограничимся рассмотрением корректно поставленных задач, когда для некоторого класса начальных и граничных данных решение (в заданном классе функций) существует, единственно и непрерывно зависит от этих данных. Будем также предполагать, что решение непрерывно зависит от всех коэффициентов уравнения.

Для уравнений в частных производных существуют физически интересные задачи, являющиеся некорректно поставленными: обратные задачи теплопроводности, задачи на развитие неустойчивостей и другие. Так, рассмотренный в главе I пример Адамара связан с возникновением релей-тейлоровской неустойчивости, когда слой тяжелой жидкости налит поверх слоя легкой жидкости. Но здесь мы такие задачи не будем рассматривать (см. [39] и приведенную там библиографию).

В этой главе излагаются методы численного решения уравнений в частных производных и способы обоснования этих методов. Они применимы к широким классам уравнений и различным типам задач для них. Но примеры, иллюстрирующие изложение и конкретные применения этих методов, рассмотренные в главах X—XIII, касаются наиболее распространенных и хорошо изученных задач для уравнений первого и второго порядков, линейных относительно производных.

Напомним классификацию таких уравнений. Они имеют следующий вид (для простоты мы ограничиваемся случаем двух переменных):

Коэффициенты уравнения (5), вообще говоря, зависят от u, х, у. Если коэффициенты не зависят от переменных, то это линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Если F линейно зависит от u, а остальные коэффициенты от и не зависят, то это линейное уравнение с переменными коэффициентами. Если коэффициенты зависят от u, то уравнение (5) называется квазилинейным.

Если то уравнение (5) имеет первый порядок и называется уравнением переноса.

Уравнения второго порядка классифицируются по знаку дискриминанта у гиперболических уравнений дискриминант положителен, у параболических — равен нулю, у эллиптических — отрицателен.

Те физические процессы, которые описываются разными перечисленными здесь типами уравнений, существенно отличаются друг от друга. Соответственно полные постановки задач для этих типов уравнений имеют свои особенности, подробно рассмотренные в [40]; мы будем кратко напоминать их в соответствующих главах.

Заметим, что уравнение с переменными коэффициентами может иметь разный тип в разных точках области . В практике вычислений встречается немало подобных задач, причем нередко — еще неисследованных теоретически. При этом сформулировать полную постановку задачи и обосновать ее корректность зачастую бывает нелегко.