6. Метод квадратного корня.

Этот метод пригоден только для линейных систем с эрмитовой матрицей , и формулы расчета при этом несколько сложней, чем в методе Гаусса. Зато метод квадратного корня вдвое быстрей метода Гаусса.

Метод основан на представлении эрмитовой матрицы системы в виде произведения трех матриц

Здесь D — диагональная матрица с элементами — верхняя треугольная матрица при — эрмитово сопряженная к ней нижняя треугольная матрица. Для полной определенности разложения потребуем вещественности и положительности диагональных элементов .

Перепишем соотношение следующем виде:

ограничение верхнего предела в сумме связано с обращением в нуль элементов S ниже главной диагонали. Последнее равенство можно записать в такой форме:

или окончательно

В этих формулах сначала полагаем и последовательно вычисляем все элементы первой строки матрицы S; при все суммы в формулах (16) отсутствуют. Затем полагаем и вычисляем вторую строку и т. д.

Когда все элементы матриц найдены, то решение линейной системы сводится к последовательному решению трех систем, двух треугольных и одной диагональной:

что делается обычным обратным ходом по формулам

Определитель матрицы вычисляется по формуле

Метод квадратного корня требует примерно арифметических действий, т. е. при больших он вдвое быстрей метода Гаусса, и занимает вдвое меньше ячеек памяти. Это понятно, ибо метод использует информацию о симметрииматрицы.

Кроме того, для ленточной, ящичной и некоторых других структур матрицы А (рис. ) матрица S будет иметь аналогичную структуру, т. е. содержать массивы нулевых элементов на заранее известных местах. Учет этого позволяет сильно сократить объем вычислений, как и в методе Гаусса. Однако заметим, что для ленточных матриц с узкой лентой, особенно для трехдиагональных, метод квадратного корня по скорости мало отличается от метода Гаусса и может быть даже медленней, ибо среди производящихся в нем действий есть извлечение корня, медленно выполняемое на ЭВМ.

Наиболее частый на практике случай эрмитовой матрицы — это вещественная симметричная матрица А. Тогда никаких комплексных чисел при вычислениях не возникает, так что матрица S тоже вещественная. Если вдобавок матрица А положительно определенная (для этого необходима и достаточна положительность всех ее главных миноров), то все и формулы можно немного упростить.

Расчет по формулам (16) невозможен, если при некотором значении индекса элемент (в частности, при . От этого можно избавиться, переставляя на место другой диагональный элемент , т. е. надо переставить и строки и столбцы, на пересечении которых лежат эти два элемента.

Метод квадратного корня применяют в основном при численном решении интегральных уравнений Фредгольма с симметричным ядром, ибо эта задача сводится к линейной системе с симметричной матрицей, обычно не содержащей нулевых элементов (при регуляризации таких задач симметрия матрицы сохраняётся).