6. Метод Галеркина.

Краевая задача для уравнения сводилась в главе VII, § 4 к отысканию минимума функционала типа или Затем решение приближенно заменялось отрезком разложения по некоторой полной системе функций, а коэффициенты разложения находились из условия минимума функционала. Этот способ для функционалов первого типа называют методом наименьших квадратов, а для второго — методом Ритца.

Метод наименьших квадратов неудобен тем, что под интегралом возникают квадраты старших производных, входящих в оператор А, и вычисления становятся громоздкими. Метод Ритца имеет тот недостаток, что не для всякого оператора А удается найти эквивалентный функционал (обычно нужна самосопряженность оператора). Более удобен на практике метод Б. Г. Галеркина (или Бубнова — Галеркина), свободный от этих недостатков. Изложим этот метод.

Пусть дано уравнение с некоторыми краевыми условиями (для определенности — первого рода)

Как и в методе Ритца (см. главу VII, § 4, п. 3), будем искать приближенное решение в виде суммы

где — некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям (83), а — какая-то система линейно-независимых функций, полная в классе непрерывных функций, определенных на отрезке и обращающихся в нуль на его концах.

Докажем, что если для некоторой функции и полной системы функций выполняется соотношение

то на . Для этого из полной системы последовательной ортогонализацией построим полную ортогональную систему Очевидно, тогда

причем , иначе были бы линейно-зависимы. Разлагая по новой системе

придем к соотношению

Полагая получим Полагая получим и т. д. Следовательно, все . Отметим, что если исходная система уже ортогональна, то доказательство становится тривиальным.

Таким образом, если бы мы нашли такую функцию и чтобы было ортогонально при любых то это означало бы, что и задача (83) была бы решена.

Если же ортогональность есть только при то в разложение по входят и более старшие коэффициенты, т. е.

Возьмем вместо и приближенное решение в форме (84) и потребуем, чтобы

Это дает нам алгебраическую систему для определения коэффициентов Найдя из нее коэффициенты, получим приближенное решение (84). В этом и заключается метод Галеркина. Вопрос об условиях сходимости при к точному решению и о скорости сходимости здесь не рассматривается.

Если оператор нелинейный, то система (85) тоже будет нелинейной. При этом больше чем 3—4 коэффициента трудно найти. Если же оператор линейный, то алгебраическая система (85) линейна и можно решать задачу с большим числом коэффициентов. Отметим, что для линейных уравнений второго порядка метод Галеркина приводит точно к тем же уравнениям, что и метод Ритца.

Пример. Рассмотрим задачу (69). Положим и выберем полную систему функций Тогда, если ограничиться одним членом суммы (84), то легко получить, что

Если возьмем два члена суммы, то получим

Соответствующие приближенные решения, вычисленные в нескольких точках отрезка, приведены в таблице 21; для сравнения там же дано точное решение. Хотя в этой задаче решение является плавно меняющейся функцией, метод Галеркина при небольшом числе членов дает неважные результаты.

Таблица 21

Обратим внимание на то, что при увеличении не только добавляются новые коэффициенты, но и меняются старые, что не очень удобно. Легко заметить, что если задача линейная, а система ортогональная, то уже найденные не будут меняться при увеличении n. Поэтому ортогональные системы обычно удобнее неортогональных.

Метод Галеркина для нелинейных задач используют лишь для нахождения грубого приближения; для линейных задач им можно найти решение с хорошей точностью.

Результат очень чувствителен к тому, насколько удачно выбрана система функций для данной задачи.

Отметим также, что при нелинейном краевом условии вида, например, и линейная комбинация (84) с произвольными коэффициентами уже не будет удовлетворять этому краевому условию. Поэтому метод Галеркина применим только к задачам с линейными (относительно и ) и ее производных) краевыми условиями, хотя допустим и нелинейный оператор .