5. Аппроксимация и ее порядок.

Пусть имеется область G переменных с границей Г и поставлена корректная задача для некоторого уравнения с граничными условиями:

Введем в области сетку с шагом h, состоящую из множества внутренних (регулярных) узлов и множества граничных (нерегулярных) узлов Заменим задачу (34) в регулярных узлах разностным аналогом уравнения (34а):

а в нерегулярных узлах — разностным аналогом краевых условий (34б):

(индексом h отмечены величины, определенные только на сетке; мы будем опускать его там, где это не вызовет недоразумений).

Близость разностной схемы (35) к исходной задаче (34) будем определять по величине невязки:

Определение. Разностная схема (35) аппроксимирует задачу (34), если

аппроксимация цмеет порядок, если

Обсудим вопрос о выборе норм в этом определении.

Функции определены обычно на отрезке или во всех точках некоторой области пространства большего числа измерений. Для них можно ввести такие нормы, как чебышевская (локальная):

или гильбертова (среднеквадратичная):

(выражения написаны для одномерного случая). Часто используют связанные с оператором А энергетические нормы, напоминающие формулы для полной энергии колебательной системы, например:

Употребляются и другие нормы.

Напомним (см. главу I), что из локальной близости функций следует их среднеквадратичная близость; поэтому называют более сильной, чем . Нетрудно проверить, что энергетическая норма (38в) сильней

Выбор той или иной нормы в конкретной задаче определяется двумя соображениями.

Желательно, чтобы разностное решение было близко к точному решению в возможно более сильной норме; например, в задачах на разрушение конструкций малость деформаций в не гарантирует сохранения конструкции, а малость в — гарантирует. С другой стороны, чем слабее тем легче построить сходящуюся в этой норме разностную схему и исследовать ее.

Заметим, что функции принадлежат, вообще говоря, разным классам. Например, если и есть четырежды дифференцируемая функция и , то является дважды дифференцируемой функцией. Поэтому каждую из этих функций можно оценивать в своей норме:

Функции определены только на сетке, поэтому для них надо ввести сеточные нормы Их вводят так, чтобы при они переходили в выбранные За разностные аналоги чебышевской и гильбертовой норм можно принять соответственно

В выборе разностных аналогов норм существует некоторый произвол. Например, сумму в (39) можно брать по что соответствует выбору другой квадратурной формулы для интеграла (386). Этим пользуются, определяя сеточные нормы так, чтобы облегчить доказательство сходимости.

Как надо понимать ? Для равномерной сетки это не требует пояснений. На неравномерных сетках рассматривают совокупность шагов как некоторую сеточную функцию и вводят какую-либо норму шага, например:

Эту норму считают «величиной шага» в определениях аппроксимации, порядка аппроксимации и т. д.

Если невязку оценивают в то аппроксимацию называют локальной. Для уравнений с достаточно гладкими решениями наличие локальной аппроксимации и ее порядок легко проверяются; в таких задачах нередко ограничиваются установлением локальной аппроксимации. Однако наиболее сильные результаты по сходимости разностных схем связаны с использованием более слабых норм для невязки (но сильных норм для решения).

Замечание 1. Факт наличия или отсутствия аппроксимации и порядок аппроксимации зависят не только от операторов А и но также от классов, к которым принадлежат и и от выбора норм. Чем сильнее норма или чем шире классы функций, тем ниже, вообще говоря, порядок аппроксимации (последнее видно по замечанию 2 к п. 3, если оценивать невязку в ).

Замечание 2. Как правило, решение исходной задачи (34) неизвестно, так что использовать его для получения невязки затруднительно. В этом случае берут достаточно широкий класс V функций которому заведомо принадлежит (обычно это класс функций, непрерывных вместе с достаточным числом своих производных). Если на всех функциях класса У имеется аппроксимация порядка :

то, очевидно, аппроксимация на решении и имеет порядок не ниже .

В подобных случаях аппроксимация на решении и может иметь порядок выше . В замечании 3 к п. 3 мы видели, что для уравнения явная разностная схема (18) при имеет в классе сколь угодно гладких функций аппроксимацию а на решений — более высокого порядка (четвертого, как нетрудно проверить).

Случай многих переменных имеет некоторые особенности. Определение аппроксимации остается в основном прежним; надо только требовать стремления к нулю шагов по всем переменным. Порядок аппроксимации может быть разный по разным переменным. Например, для двух переменных соотношение

означает порядок по времени и по пространству. Это хорошо видно на примере схемы (18) с невязкой (25).

Аппроксимация вида (40), погрешность которой стремится к нулю при любом законе стремления шагов к нулю, называется безусловной или абсолютной. Если же погрешность аппроксимации стремится к нулю при одних законах убывания шагов и не стремится при других, то аппроксимацию называют условной. Например, если

то аппроксимация условная: кроме надо дополнительно требовать, чтобы

Если аппроксимация условная, то разностный оператор при разных законах изменения может аппроксимировать разные дифференциальные операторы. Например, можно проверить, что

при аппроксимирует оператор

а при — оператор

Поэтому, если нет специальных соображений, лучше пользоваться разностными схемами с безусловной аппроксимацией.