4. Метод простых итераций.

Заменим уравнение (22) эквивалентным ему уравнением Это можно сделать многими способами, например, положив где — произвольная непрерывная знакопостоянная функция. Выберем некоторое нулевое приближение и вычислим дальнейшие приближения по формулам

Очевидно, если стремится к некоторому пределу то этот предел есть корень исходного уравнения.

Исследуем условия сходимости. Если имеет непрерывную производную, тогда

где точка лежит между точками . Поэтому если всюду то отрезки убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем и последовательность сходится при любом нулевом приближении. Если , то в силу непрерывности больше единицы и в некоторой окрестности корня; в этом случае итерации не могут сходиться. Если но вдали от корня то итерации сходятся, если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню; при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть.

Эти рассуждения переносятся на липшиц-непрерывные функции практически без изменений.

Очевидно, что чем меньше q, тем быстрей сходимость. Вблизи корня асимптотическая сходимость определяется величиной и будет особенно быстрой при

Значит, успех метода зависит от того, насколько удачно выбрано . Например, для извлечения квадратного корня, т. е. решения уравнения можно положить или и соответственно написать такие итерационные процессы:

Первый процесс вообще не сходится, а второй сходится при любом сходится он очень быстро, ибо . Второй процесс используют при извлечении корня на клавишных машинах.

Каков практический критерий сходимости, т. е. когда надо прекращать итерации Из (24) видно, что если то итерации попеременно оказываются то с одной, то с другой стороны корня, так что корень заключен в интервале Это надежная, хотя несколько грубая оценка. Но она неприменима при когда итерации сходятся к корню монотонно, т. е. с одной стороны.

Вблизи корня итерации сходятся примерно как геометрическая прогрессия со знаменателем Чтобы сумма дальнейших ее членов не превосходила , должен выполняться критерий сходимости

При выполнении этого условия итерации можно прекращать.

Легко заметить, что выражение в левой части есть поправка Эйткена (4.24). Если последние три простые итерации уточнить процессом Эйткена, то это обычно заметно повышает точность расчета и позволяет ограничиться меньшим числом итераций.

Метод простых итераций и почти все другие итерационные методы имеют важное достоинство: в них не накапливаются ошибки вычислений. Ошибка вычислений эквивалентна некоторому ухудшению очередного приближения. Но это отразится только на числе итераций, а не на точности окончательного результата. Подобные методы устойчивы даже по отношению к грубым ошибкам (сбоям ЭВМ), если только ошибка не выбрасывает очередное приближение за пределы области сходимости.

При обработке эксперимента возникают стохастические задачи, где ошибки определения функции велики и носят случайный характер. Погрешность функции приводит к погрешности корня . Однако поскольку ошибки носят случайный характер, то методами статистики можно определить корень гораздо более точно, чем по указанной оценке. Рассмотрим простые итерации

при дополнительных условиях

которым удовлетворяет, например, последовательность Доказано [47], что при с вероятностью единица. Использование в формуле (27 а) знака производной не означает, что надо вычислять эту производную: достаточно лишь определить ее знак по разности двух значений функции.

Напомним, что стремлением к пределу с вероятностью единицайазывается сходимость к пределу х в подавляющем большинстве случаев (т. е. при разных нулевых приближениях и разных выборах последовательностей ), хотя в отдельных случаях процесс может не сходиться или сходиться к другому пределу. Стохастические процессы сходятся медленно, поэтому к детерминированным задачам их нецелесообразно применять.