3. Метод Филона.

В радиотехнических задачах часто встречаются функции описывающие несущее высокочастотное колебание с модулированной амплитудой. Это быстропеременные функции, и их производные велики. Поэтому при интегрировании их по формулам § 1 приходится брать настолько мелкий шаг, чтобы выполнялось условие т. е. чтобы одна осцилляция содержала бы много узлов интегрирования. Это приводит к большому объему вычислений.

Для уменьшения объема вычислений надо использовать априорные сведения о подынтегральной функции. Такие функции можно представить в виде , где частота известна, а амплитуда мало меняется за период основного колебания. Выбирая для несложные полиномиальные аппроксимации, можно получить квадратурные формулы, называемые формулами Филона [45].

Построим, например, аналог формулы средних. Для этого при вычислении интеграла по отдельному интервалу сетки заменим амплитуду ее значением в середине интервала. Погрешность этой замены определим, разлагая амплитуду по формуле Тейлора

Умножим амплитуду на несущую частоту, проинтегрируем по интервалу и сложим интегралы по всем интервалам. После несложных выкладок получим квадратурную формулу

и ее погрешность

Если шаг интегрирования настолько мал, что , то тригонометрические функции в этих формулах можно разложить в быстро сходящиеся ряды. При этом нетрудно видеть, что формула (35) действительно переходит в обобщенную формулу средних (16), и то же имеет место для погрешности.

Для формулы средних погрешность есть малая величина . Однако для квадратурной формулы (35) малость шага гарантирует малость погрешности, только если что при высокой несущей частоте требует очень малого шага . Если же шаг не настолько мал и удовлетворяет условию то погрешность по порядку величины есть . Следовательно, для малости погрешности (36) необходимо, чтобы амплитуда была почти постоянна, т. е. ее производная должна быть малой. Кроме того, можно сделать важный вывод: если , то метод Рунге — Ромберга для уточнения результата применять нельзя, ибо при этом зависимость погрешности от шага носит сложный (не степенной) характер.

Поэтому для построения формул Филона высокой точности приходится использовать более сложные аппроксимации амплитуды. Например, воспользуемся линейным приближением

Умножая на несущую частоту и интегрируя по одному интервалу, легко получим

суммирование по всем интервалам сетки дает

Для равномерной сетки эту формулу удобнее представить в виде

Легко проверить, что при полученные квадратурные формулы переходят в обобщенную формулу трапеций. Если же , то погрешность этих формул по порядку величины равна она мала, если закон изменения амплитуды близок к линейному.

Аналогично строятся формулы Филона для квадратичного или более сложных законов изменения амплитуды.

Если амплитуда почти постоянна или почти линейна и т. д., то применение соответствующей формулы Филона нередко позволяет интегрировать довольно крупным шагом (например, шагом, равным длине несущей волны или еще более крупным). Описанные же в § 1 полиномиальные формулы требовали бы гораздо более мелкого шага т. е. большего объема вычислений.

Однако формулы (35) — (38) годятся только в том случае, если несущая частота постоянна. Если частота «плывет» (например, при фазовой модуляции колебаний), то надо составлять другие формулы.