3. Степенной метод (счет на установление)

Применяется для получения наибольшего по модулю собственного значения. Пусть Построим такой итерационный процесс:

Он не сходится в обычном смысле. Разложим нулевое приближение по собственным векторам матрицы: Тогда легко убедиться, что при достаточно большом числе итераций , т. е. вектор сходится к собственному вектору по направлению. Очевидно, при этом

Процесс сходится линейно со знаменателем Считается, что процесс практически сошелся, если отношения соответствующих координат векторов с требуемой точностью одинаковы и не меняются на последних итерациях. При этом для более точного получения собственного значения целесообразно положить

Отметим, что при расчетах на ЭВМ на каждой итерации после вычисления вектор надо нормировать, чтобы не получать переполнений или исчезновений чисел.

Формально при итерации сходятся к следующему собственному значению. Однако из-за ошибок округления не может быть точно нулем, а при малом процесс по-прежнему сходится к первому собственному значению, только за большее число итераций.

Если наибольшее собственное значение кратное, но соответствующий элементарный делитель матрицы линеен, то итерации сходятся обычным образом. Но если а их модули равны или если элементарный делитель матрицы нелинеен (жорданова клетка), то процесс не сходится.

Если , то сходимость очень медленная; этот случай нередко встречается в простейших итерационных методах решения разностных схем для эллиптических уравнений (глава XII). Тогда сходимость можно ускорить процессом Эйткена (см. главу IV, § 1).

Одна итерация для матрицы общего вида требует арифметических действий, а для ленточной матрицы действий. Из-за медленной сходимости степенной метод применяют только к матрицам, содержащим очень много нулевых элементов (и даже к ним — довольно редко).

В математической литературе описана вариация степенного метода, имеющая квадратичную сходимость: где Однако если матрица А имеет много нулевых элементов, то ее степени уже такими не будут. Поэтому этот вариант обычно не экономичен.