4. Некоторые приложения.

Некорректные задачи встречаются в практике вычислений довольно часто.

К ним относятся, например, сглаживание и дифференцирование экспериментально измеренных функций, суммирование рядов Фурье с неточно заданными коэффициентами, решение плохо обусловленных линейных систем, задачи оптимального управления, аналитическое продолжение функций, линейное программирование (оптимальное планирование), обратные задачи теплопроводности и геологической разведки, восстановленне переданного сигнала по принятому при наличии искажений аппаратуры и многие другие.

Некоторые из этих задач встречались в предыдущих главах. Покажем, как они регуляризируются вариационным методом. Для определенности ограничимся сильной регуляризацией, полагая в формулах (42) или (53).

Сглаживание функции. Пусть функция , измерена экспериментально и содержит заметную случайную погрешность. Тогда математическая задача имеет вид и ее можно записать в каноническом виде полагая Подставляя последнее выражение в измененную задачу (42), составим уравнение Эйлера (53):

Таким образом, сглаженная функция удовлетворяет линейному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, для которого поставлена вторая краевая задача. Методы численного решения этой задачи подробно разобраны в главе VIII.

Замечание 1. Весовые функции выбирают, исходя из дополнительных сведений о виде функции и величине погрешности . Например, целесообразно брать большими в тех диапазонах значений где погрешность особенно велика. Если подобных сведений нет, то обычно полагают

Замечание 2. На концах отрезка погрешность сглаживания может быть значительна, поскольку краевые условия второго рода в (61) не соответствуют, вообще говоря, истинному поведению функции.

Замечание 3. Можно уменьшить погрешность сглаживания вблизи концов отрезка , если воспользоваться регуляризацией более высокого порядка (см. задачу 10). Однако, как отмечалось в п. 2, при этом могут исказиться качественные особенности решения (типа, например, узких экстремумов).

Дифференцирование. Задачу дифференцирования и , можно записать в виде уравнения Вольтерра первого рода (36):

или, формально, в виде уравнения Фредгольма первого рода с разрывным ядром:

Поскольку требование непрерывности ядра не является существенным, применим к этой задаче алгоритм (53). Легко получим

Отсюда вытекает, что регуляризованное решение удовлетворяет следующему интегро-дифференциальному уравнению и краевым условиям:

К этой задаче также относятся сделанные выше замечания о выборе весовых функций, о значительной погрешности на концах отрезка и возможностях ее уменьшения.

Суммирование ряда Фурье. Пусть задана полная ортонормированная система функций которую можно рассматривать как систему собственных функций некоторой задачи Штурма — Лиувилля:

Требуется просуммировать ряд Фурье

коэффициенты которого заданы приближенно.

Эту задачу можно рассматривать как сглаживание неточно заданной функции . Воспользуемся для ее решения уравнением (61), где в качестве выбраны веса, входящие в задачу Штурма — Лиувилля (64).

Будем искать регуляризованное решение также в виде ряда Фурье:

Подставляя (66) и (65) в (61) и учитывая (64), получим

где — собственные значения задачи Штурма—Лиувилля (64). Этот способ регуляризации приводился без доказательства в гл. II, § 2, п. 3.

Плохо обусловленные линейные системы , где - конечномерные векторы, можно регуляризировать, записывая их непосредственно в вариационной форме (42) и выбирая

Формально соответствует слабой регуляризации. Но в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, поэтому сходимость регуляризованного решения к точному при является равномерной.

Уравнение (68) означает, что среди решений, приближенно удовлетворяющих исходной задаче, ищут вектор наименьшей длины. Часто рассматривают более общую постановку:

которая определяет нормальное решение — приближенное решение, наименее отличающееся от заданного вектора . Ее используют, например, в задачах линейного программирования (см. гл. VII, § 3).

Поскольку (69) является квадратичной формой относительно и, то нахождение ее минимума сводится к решению линейной алгебраической системы

(70)

Благодаря слагаемому эта система хорошо обусловлена, по крайней мере, при не слишком малых Поэтому ее нетрудно решить методом исключения Гаусса.

Описанный алгоритм применяют также для решения систем с вырожденной матрицей А.