§ 2. Вариационные и вариационно-разностные методы

1. Метод Ритца.

Вариационные методы применяются к эллиптическим уравнениям в частных производных независимо от числа измерений. Рассмотрим, например, задачу:

Дифференциальный оператор является самосопряженным. Поэтому задача (41) эквивалентна задаче на минимум функционала и), которую при помощи формул векторного анализа можно записать в виде

Возьмем некоторую функцию удовлетворяющую граничному условию (416), и полную систему функций обращающихся в нуль на границе. Будем искать приближенное решение задачи (42) в следующем виде:

Подставляя (43) в (42), получим задачу на минимум квадратичной функции неизвестных коэффициентов для простоты ограничимся случаем соответствующим

Приравнивая нулю производные по коэффициентам, получим для определения систему линейных уравнений

Обоснование сходимости метода Ритца при рассматривалось в главе VII. При практическом применении метода Ритца успех сильно зависит от выбора системы функций При неудачном выборе этой системы для получения удовлетворительной точности может потребоваться очень много членов ряда (43).

Еслц область имеет несложную форму, то нередко выбирают систему с разделяющимися переменными; например, для прямоугольника полагают , а для круга Отметим, что если в одномерной задаче для получения удовлетворительной точности требовалось членов ряда, то в аналогичной -мерной задаче обычно надо брать членов.

Ограничиваясь малым числом членов, можно легко получить грубую оценку решения.

Замечание 1. Метод Ритца применим к многомерной задаче Штурма—Лиувилля (задаче на собственные значения).

Замечание 2. Если оператор в задаче типа (41) не самосопряженный, то вместо метода Ритца применяют метод Галеркина.