4. Погрешность многочлена Ньютона.

Выше мы рассмотрели эмпирическое правило определения погрешности интерполяции по убыванию членов суммы (8). Проведем теперь строгое исследование погрешности метода, проистекающей от замены искомой функции интерполяционным многочленом Ньютона.

Погрешность удобно представить в следующем виде:

ибо эта погрешность заведомо равна нулю во всех узлах интерполяции. Введем вспомогательную функцию где играет роль параметра и принимает любое фиксированное значение. Очевидно, при и при , т. е. обращается в нуль в точках.

Рис. 2.

Предположим, что имеет непрерывную производную; тогда то же справедливо для Между двумя нулями гладкой функции лежит нуль ее производной. Последовательно применяя это правило, получим, что между крайними из нулей функции лежит нуль 1-й производной. Но и если в какой-то точке , лежащей между указанными выше нулями, она обращается в нуль, то Заменяя погрешность (9) максимально возможной, получаем оценку погрешности:

где максимум производной берется по отрезку между наименьшим и наибольшим из значений

Оценить при произвольном расположении узлов интерполяции сложно. Однако таблицы чаще всего имеют постоянный шаг а узлы интерполяции берутся из таблицы подряд. Тогда имеет примерно такой вид, как показано на рис. 2 для вблизи центрального узла интерполяции экстремумы невелики, вблизи крайних узлов — несколько больше, а если выходит за крайние узлы интерполяции, то быстро возрастает.

Можно подобрать узлы интерполяции так, чтобы да заданном отрезке был меньше, чем у любого другого многочлена той же степени. Для этого должен быть многочленом Чебышева первого рода (см. Приложение). Узлы этого многочлена расположены сравнительно редко в середине рассматриваемого отрезка и сгущаются у его концов. Но вне выбранного отрезка многочлен по-прежнему будет быстро возрастать. Этот способ интерполяции довольно громоздок, а выигрыш в точности невелик; поэтому его используют только для специальных целей — например, при построении аппроксимирующих формул.

Термин интерполяция в узком смысле употребляют, если х заключено между крайними узлами интерполяции; если он выходит из этих пределов, то говорят об экстраполяции. Очевидно, что при экстраполяции далеко за крайний узел ошибка может быть велика, поэтому экстраполяция мало надежна. На практике рекомендуется пользоваться преимущественно интерполяцией.

При интерполяции на равномерной сетке выгодно выбирать из таблицы узлы так, чтобы искомая точка попадала ближе к центру этой конфигурации узлов — это обеспечит более высокую точность. Для упрощения вычислений рассмотрим случай нечетного . Из симметрии полинома очевидно, что в центральном интервале экстремум достигается точно в середине (см. рис. 2). Этот экстремум равен

Подставим эту величину в оценку (10). После несложных преобразований с использованием формулы Стирлинга получим оценку ошибки в центральном интервале

Если величины производных у можно оценить, то отсюда легко определить число узлов, - достаточное для получения заданной точности.

Из оценки (11) видно, что если перейти от таблиц с крупным шагом к таблицам с более мелким шагом, то погрешность метода будет убывать, как . Поэтому говорят, что многочлен Ньютона имеет погрешность и обеспечивает n+1-й порядок точности интерполяции.

В главе III мы увидим, что между разделенными разностями и производными соответствующих порядков существует соотношение Если учесть это при определении величины членов суммы (8), то нетрудно заметить, что эмпирическая оценка погрешности по первому отброшенному члену близка к оценке (10), хотя является менее строгой. Оценки (10) и (11) можно провести до вычисления интерполяционного многочлена, т. е. это априорные оценки точности. Оценка же по первому отброшенному члену делается после выполнения вычислений, т. е. является апостериорной. Поскольку обычно величины производных искомой функции заранее неизвестны, а в ходе вычисления многочлена Ньютона они фактически определяются, то на практике удобнее пользоваться апостериорной оценкой.

Далее мы не раз сможем убедиться, что строгие априорные оценки используются в основном при теоретическом исследовании методов.

При практическом контроле точности расчетов обычно употребляют менее строгие (хотя тоже [имеющие теоретическое обоснование), но более удобные апостериорные оценки.