2. Точные методы решения.

В курсах уравнений математической физики изложен ряд методов, позволяющих для некоторых классов задач найти точное решение (см. [40]).

К таким методам относятся метод распространяющихся волн, метод разделения переменных, метод функций источника и другие.

Например, для простейшей задачи теплопроводности

где функция кусочно-непрерывна, методом разделения переменных решение представляется в виде ряда

где величины являются коэффициентами Фурье начальных данных

Таким образом, получено явное выражение решения через начальные данные.

Подставляя (76) в (7а) и меняя порядок интегрирования и суммирования, выразим решение через начальные данные и функцию источника

где функция источника равна

Для задачи Коши на бесконечной прямой выражение для функции источника имеет следующий вид (см. [40]):

Точные методы позволяют получить явное выражение решения через начальные данные, что облегчает дальнейшие действия с решением. Например, выражения (7)-(8) позволяют многое сказать о качественном поведении решения.

В самом деле, в формуле (7а) пространственные гармоники множатся на величины , затухающие при возрастании времени; это затухание тем быстрей, чем больше номер гармоники.

Но чем меньше амплитуды высоких гармоник, тем более плавно меняется функция. Следовательно, с течением времени решение задачи (6) должно сглаживаться.

Наоборот, при движении в обратную сторону по времени амплитуды высоких гармоник возрастают тем быстрей, чем больше ; при скорость роста гармоник неограниченно увеличивается. Отсюда легко понять, что обратная задача теплопроводности неустойчива.

Заметим, что функция источника на бесконечной прямой положительна: при . Следовательно, если в решение (8а) с бесконечными пределами интегрирования подставить начальные данные вида

то при решение будет отлично от нуля в любой точке бесконечной прямой. Это означает, что в случае линейной теплопроводности скорость распространения тепла бесконечна.

Таким образом, точные методы очень полезны. Однако они применимы в основном к линейным задачам в областях простой формы (прямоугольник, круг и т. п.), когда дифференциальное уравнение и краевые условия линейны относительно и и ее производных. При этом выкладки удается довести до конца обычно лишь для уравнений с постоянными или кусочно-постоянными коэффициентами.