5. Кратные интегралы.

Второй способ легко обобщается на многомерные интегралы по единичному кубу G (для определенности мы выбираем трехмерное пространство) если внутри этого куба. Рассмотрим куб G в четырехмерном пространстве , и и случайные равномерно распределенные в нем точки; координатами этих точек будут последовательные четверки случайных чисел . Доля случайных точек, удовлетворяющая неравенству даст приближенное значение искомого интеграла.

Рис. 22.

Напомним, что чем больше число измерений, тем более жесткими тестами надо проверять качество случайных или псевдослучайных чисел, используемых в расчете.

Замечание 1. Для функций произвольного вида можно получить при том же числе узлов точность в несколько раз более высокую; если использовать не случайные точки, а отрезки так называемых -последовательностей. Это последовательности многомерных точек, которые обеспечивают более равномерное распределение и самих точек в пространстве, и всех их проекций на грани и ребра многомерного куба. Особенно выгодно в расчетах с такими последовательностями выбирать числа точек ибо фактическая ошибка при этом оказывается обычно много меньше, чем по оценке дисперсии.

Замечание 2. Для гладких функций можно получить более хорошие результаты при несложном построении сетки, если выбрать число узлов , где — число измерений. Разобьем единичный куб на N кубиков со стороной в каждом кубике выберем одну случайную точку и вычислим по этим точкам интеграл.

Дисперсия этого метода есть т. е. она меньше оценки получающейся при обычном применении метода Монте-Карло.

Первый способ. Дисперсия второго способа велика, и обычно первый способ статистического вычисления интегралов точнее. Пусть есть многомерная плотность распределения некоторой случайной величины. Тогда, аналогично одномерному случаю,

Как найти случайную трехмерную точку с заданным распределением плотности по тройке равномерно распределенных случайных чисел ? Для этого надо свести разыгрывание многомерной плотности к последовательным разыгрываниям одномерных случайных величин с плотностями

Для разыгрывания координаты построим одномерную плотность распределения по этой координате при произвольных остальных координатах

Очевидно, функция неотрицательна и нормирована на единицу, т. е. удовлетворяет предъявляемым к плотности требованиям (51). Поэтому формула разыгрывания есть

Теперь одна координата разыграна. Надо найти плотность распределения по второй координате при фиксированной первой координате и произвольной третьей. Если первую координату фиксировать, а по третьей проинтегрировать, то полученное выражение не удовлетворяет условию нормировки (интеграл по у не равен 1). Нормируя его, получим искомую плотность

Вторая координата разыгрывается по формуле

Плотность распределения по третьей координате при фиксированных первых двух координатах пропорциональна . Для нормировки надо положить

тогда интеграл по z равен единице.

Соответственно формула разыгрывания имеет вид

Подставляя полученные координаты в (59), вычислим искомый интеграл. Все, что говорилось в п. 3 о точности расчета, полностью относится к многомерному случаю.

Нелегко подобрать такой вид плотности , чтобы она содержала основные особенности подынтегральной функции и при этом явно бы вычислялись все интегралы, возникающие при разыгрывании координат. Обычно пытаются выделить плотность вида , ибо тогда каждая координата разыгрывается независимо от остальных по формуле вида (52), и легче подобрать интегрируемые выражения для одномерных плотностей; к общему виду прибегают, только если точность такого представления недостаточна.

Какими методами удобнее вычислять интегралы — сеточными или статистическими? Точность метода статистических испытаний невелика, и для однократных интегралов он явно невыгоден. Для многих измерений положение резко меняется.

Пусть функция переменных интегрируется по сеточным формулам порядка точности, причем сетка имеет шагов по каждой переменной. Тогда полное число узлов есть а погрешность расчета еггр (разумеется, предполагается существование кусочно-непрерывных производных функции). Поэтому число узлов, требуемое для достижения данной точности , есть оно экспоненциально растет при увеличении числа измерений.

При интегрировании методом статистических испытаний погрешность Поэтому полное число узлов есть независимо от числа измерений.

Очевидно, если число измерений то сеточные методы требуют меньшего числа узлов и более выгодны. Если. то статистические методы выгодней. И чем больше число измерений, тем больший выигрыш дают статистические методы.

В многомерном случае редко можно рассчитывать наилучший . порядок точности, чем тогда трехмерные интегралы выгодней вычислять сеточными методами, а пятимерные — уже статистическими. Если же функция имеет только первые производные, то и статистические методы становятся выгодными даже для трехкратных интегралов.

6. Другие задачи. Методы статистических испытаний применяют не только - к численному интегрированию, а и во многих других случаях: задачи массового обслуживания, нахождение критических параметров ядерного реактора, расчет защиты от излучения и т. д.

Например, рассмотрим расчет надежности сложной конструкции, состоящей из многих элементов.

Каждый элемент обычно испытывают на изготовляющем его заводе и снимают так называемую кривую отказов (рис. 23, а); это вероятность выхода элемента из строя после t часов работы. Чтобы снять такую кривую, надо заставить большую партию элементов работать до поломки. Ясно, что испытывать так готовую конструкцию слишком дорого.

Рассмотрим конструкцию, состоящую из четырех элементов, причем поломка любого элемента выводит конструкцию из строя. Самый ненадежный элемент мы дублируем так, что после, поломки элемента включается дублер (рис. 23, б). Тогда конструкция сломается, если сломаются оба третьих элемента или любой другой. Если время жизни отдельного элемента есть t, то время жизни конструкции равно

Проведем математическое испытание конструкции. Разыграем выход каждого элемента из строя при помощи равномерно распределенных случайных чисел . Откладывая на оси ординат кривой отказов первого элемента, получим на оси абсцисс его время жизни (рис. 23, а).

Рис. 23.

Время жизни второго элемента определим по числу разумеется, отказ каждого дублирующего элемента надо разыграть отдельно. Затем по формуле (60) найдем время жизни конструкции в данном испытании.

Повторяя такое испытание много раз можно найти среднее время работы конструкции

и построить ее кривую отказов. Если надо испытать слегка измененную конструкцию, это можно сделать по той же программе, изменив в ней только формулу (60).