7. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ

Решение практически важных задач, будь то расчет подъемной силы крыла самолета или прогнозирование динамики распространения инфекции в определенном регионе, предполагает наличие математических моделей изучаемых явлений, позволяющих применять количественные методы исследования. Напомним, что под математической моделью понимают приближенное описание какого-либо класса явлений реального мира, выраженное с помощью математической символики. На данном этапе мы не будем заниматься разработкой математических моделей конкретных явлений, тем более, что, согласно высказываниям многих видных специалистов в области математического моделирования, искусство построения математической модели есть именно искусство и опыт в этом деле приобретается постепенно.

В данной главе рассматриваются математические модели, представляющие собой системы обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений, дополненные соответствующими начальными условиями. Эти модели описывают обширный класс явлений реального мира.

7.1. Случайные возмущения в динамической системе

Рассмотрим математическую модель, описывающую эволюцию изучаемого объекта на отрезке времени

(7.1)

где — -мерная вектор-функция, которую называют вектором состояния; — вектор параметров, не зависящий от времени t; А — -мерная векторная функция переменного, удовлетворяющая условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши (7.1); — начальное значение вектора состояния

Из (7.1) следует, что скорость изменения состояния в любой момент времени определена его текущим состоянием в этот момент времени и вектором параметров а. Математическая модель (7.1), которую называют детерминированной (неслучайной) моделью состояния, является достаточно общей и может быть использована для описания обширного класса динамических систем. Поясним сказанное примером.

Пример 7.1. Рассмотрим математическую модель простейшей следящей системы:

где — начальное значение состояния системы — параметр системы; — скалярная функция времени, заданная на отрезке .

Система функционирует таким образом, что отклонение от заданного состояния уменьшается со скоростью, пропорциональной текущей величине отклонения. Причем реакция системы на изменение состояния тем быстрее, чем больше значение параметра

Математическая модель позволяет заранее рассчитывать изменение состояния изучаемой системы на отрезке Т путем решения задачи Коши (7.2). Если же требуемые значения состояния в моменты времени заранее неизвестны, например, вследствие их зависимости от множества непрогнозируемых факторов, то следует рассматривать как случайный процесс , математическое ожидание которого как правило, известно.

В этом случае случайный процесс , можно представить в следующем виде:

а математическую модель (7.2) записать так:

При этом состояние следящей системы уже не является детерминированной функцией, а представляет собой случайный процесс

Таким образом, математическая модель (7.3) может рассматриваться как результат случайных возмущений детерминированной модели (7.2). В этом случае невозможно заранее рассчитать изменения состояния следящей системы на Т, а можно лишь анализировать вероятностные характеристики случайного процесса

Используя аналогию с рассмотренным примером, перейдем к анализу общего случая. Ограничимся математической моделью (7.1) и установим условия, которым должен удовлетворять процесс случайных возмущений.

В правую часть нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (7.1) добавим -мерный случайный процесс который будем называть процессом случайных возмущений. При этом отметим, что в общем случае этот случайный процесс может зависеть и от текущего состояния, и от вектора параметров а, т.е. — -мерная случайная функция.

Но для упрощения дальнейших рассуждений будем считать, что процесс случайных возмущений является линейным относительно некоторого -мерного случайного процесса

где — матричная функция в переменного типа n X n. При добавлении в правую часть нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, входящих в математическую модель (7.1), ее вектор состояния будет -мерным случайным процессом . Поэтому и начальное состояние в общем случае следует считать -мерным случайным вектором Если же по смыслу решаемой задачи начальное состояние изучаемой системы задано, т.е. то всегда можно рассматривать как -мерный случайный вектор, который с вероятностью 1 принимает значение Таким образом, приходим к так называемой стохастической модели состояния

где — -мерный случайный процесс, без конкретизации свойств которого дальнейший анализ не представляется возможным.

Для процесса случайных возмущений естественно требовать выполнение следующих условий.

1. Не теряя общности дальнейших рассуждений, можно считать, что

Действительно, если на Т, то достаточно ввести центрированный случайный процесс

с нулевым математическим ожиданием, а затем стохастическую модель состояния (7.4) преобразовать к виду

2. Чтобы сохранить основное свойство исходной математической модели (7.1), состоящее в том, что скорость изменения состояния определяется текущим состоянием и не зависит от его предыстории, следует потребовать, чтобы любые два сечения процесса случайных возмущений были независимы, т.е. чтобы для любых различных были независимы случайные векторы

3. Для сохранения непрерывности производной случайного процесса , следует потребовать непрерывности процесса случайных возмущений . Это требование сводится к существованию ограниченной дисперсии (см. теорему 3.6). Таким образом, в предположении, что случайный процесс центрирован, имеем

Рассмотрим процесс случайных возмущений , удовлетворяющий требованиям 1-3, и попытаемся понять, что он из себя представляет. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 7.1. Пусть -мерный случайный процесс , удовлетворяет условиям:

2) для любых различных сечения являются независимыми случайными векторами;

Тогда

В соответствии с принятыми допущениями определен -мерный случайный процесс (см. 3.4)

и с учетом условия 1 теоремы

Кроме того, из существования случайного процесса , и условия 2 теоремы вытекает, что для любых , таких, что имеет место равенство

где

Пусть

Тогда с учетом условия 3 теоремы имеем

Таким образом, при

так как в силу неравенства Шварца

Следствие 7.1. Если случайный процесс , удовлетворяет условиям теоремы 7.1, то в смысле среднего квадратичного (см. 3.1)

или, что то же самое,

Следствие 7.2. Если — решение задачи Коши (7.1), — решение стохастической задачи Коши (7.4), в которой процесс случайных возмущений , удовлетворяет условиям теоремы 7.1 и то в смысле среднего квадратичного

или, что то же самое,

так как случайная величина с нулевой дисперсией является детерминированной [XVI].

Следствие 7.3. Не существует ненулевых случайных процессов с независимыми сечениями и ограниченной дисперсией.

Итак, стохастическая модель (7.4) не дает никакой новой информации по сравнению с исходной детерминированной моделью (7.1). Нетрудно догадаться, что этот результат является следствием слишком жестких требований, предъявляемых к процессу случайных возмущений. Проанализируем эти требования с точки зрения их возможного ослабления или устранения.

Первое требование не является принципиальным, что уже было отмечено, а второе отражает основной принцип построения математической модели, согласно которому скорость изменения состояния объекта определяется его текущим состоянием. Таким образом, мы можем отказаться лишь от третьего требования, предъявляемого к процессу случайных возмущений. Этот шаг является естественным, так как в силу независимости сечений случайного процесса , его ковариационная функция имеет следующий вид:

где — -функция Дирака, а — постоянная матрица. Таким образом, случайный процесс , с независимыми сечениями является белым шумом. Его спектральная плотность

постоянна и не зависит от частоты u. Матрицу Г называют матрицей спектральных интенсивностей.

Отказ от требования ограниченности дисперсии процесса случайных возмущений является основополагающим при построении стохастических моделей состояния. Действительно, при проведении гармонического анализа в детерминированной модели состояния (7.1) каждой компоненте вектора состояния соответствует вполне определенный ограниченный спектр частот. Пусть относительно процесса случайных возмущений , приняты самые общие допущения, но полоса спектра каждой его компоненты , содержит весь спектр частот компоненты вектора состояния . В этом случае для каждого спектр случайного процесса , можно считать постоянным в пределах ограниченного спектра компоненты вектора состояния. А это означает, что для вектора состояния детерминированной модели состояния (7.1) процесс случайных возмущений — белый шум.

При проведении дальнейших рассуждений воспользуемся положительной определенностью и симметричностью матрицы Г спектральных интенсивностей случайного процесса обладающего нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией (7.5). Из теории матриц известно [IV], что существует квадратная невырожденная матрица такая, что

Введем в рассмотрение -мерный случайный процесс

который также является белым шумом. Действительно,

Полагая (т.е. ), заключаем, что случайный процесс в классе обобщенных функций (см. пример 4.4) можно рассматривать как производную -мерного винеровского процесса , с коэффициентом диффузии Таким образом,

Полагая в (7.4), что

приходим к следующей стохастической модели состояния:

Выше доказано (см. пример 4.4), что винеровский процесс не является дифференцируемым в смысле сходимости в среднем квадратичном. Поэтому для корректности представления стохастической модели состояния (7.6) используем следующую форму записи:

поскольку винеровский процесс имеет непрерывные траектории в смысле среднего квадратичного.

Заметим, что при изложении элементов стохастического анализа мы не ввели понятия стохастического дифференциала и восполним этот пробел лишь в 7.3. А здесь будем считать, что дифференциал случайного процесса — главная линейная часть его приращения в смысле среднего квадратичного, и от дальнейших комментариев воздержимся.

Стохастические модели состояния (7.6), (7.7) представляют собой задачи Коши для стохастических дифференциальных уравнений, простейшими представителями которых являются линейные стохастические дифференциальные уравнения.