3.6. Эргодические случайные процессы

При решении прикладных задач, когда по наблюдаемым значениям изучаемого случайного процесса требуется оценить его моменты, большое значение приобретает информативность выборочных реализаций. Это особенно важно в тех случаях, когда условия, в которых проводят наблюдения, позволяют получить лишь одну реализацию.

В связи с зтим возникает естественный вопрос — можно ли по одной реализации случайного процесса делать какие-либо заключения о его свойствах?

Оказывается, что можно, но не для всех случайных процессов, а лишь для тех, которые удовлетворяют определенным условиям.

Определение 3.9. Скалярный случайный процесс интегрируемый на множестве Т с весом , и обладающий постоянным математическим ожиданием называют эргодическим по отношению к математическому ожиданию , если существует предел

или, что тоже самое,

Теорема 3.9. Пусть — скалярный случайный процесс второго порядка, интегрируемый на множестве Т с весом где — некоторая произвольная неслучайная интегрируемая на Т функция. Предел

существует тогда и только тогда, когда существует предел

Из условий теоремы следует существование случайной величины

с математическим ожиданием

и дисперсией

Если воспользоваться определением дисперсии скалярной случайной величины, то с учетом (3.11), (3.12) получаем

Сопоставив этот результат с (3.13), приходим к равенству

Из определения предела следует, что I

тогда и только тогда, когда 1

Значит, теорема доказана.

Следствие 3.7. Если в условиях теоремы

тогда и только тогда, когда

Следствие 3.8. Если скалярный случайный процесс второго порядка интегрируем на множестве Т с весом , то условие

является необходимым и достаточным для эргодичности этого случайного процесса по отношению к математическому ожиданию.

Следствие 3.8 — отражение общей эргодической теоремы, утверждающей следующее. Для скалярного случайного процесса , с постоянным математическим ожиданием условие, что среднее значение этого случайного процесса по области Т в пределе при равно его математическому ожиданию, равносильно условию, что среднее значение по области ковариационной функции при стремится к нулю.

Практическая проверка реализуемости необходимого и достаточного условия (3.14) эргодичности случайного процесса относительно его математического ожидания может быть связана с преодолением значительных трудностей.

Поэтому зачастую, особенно в случае стационарных случайных процессов, целесообразно использовать достаточные условия эргодичности.

Теорема 3.10. Пусть скалярный случайный процесс второго порядка интегрируемый на множестве Т с весом имеет постоянное математическое ожидание т. Тогда для его эргодичности относительно математического ожидания достаточно существования предела

Рис. 3.1

Пусть выполнены условия теоремы. Тогда для любого существует такое что при верно неравенство Обозначим (рис. 3.1.). Если

а — площади областей соответственно, то

так как имеют место неравенства (см. рис. 3.1)

Таким образом, из (3.15) следует (3.14), что и требовалось доказать.

Пример 3.12. Скалярный стационарный случайный процесс с характеристиками

(см. пример 3.11) является эргодическим относительно математического ожидания. Действительно:

а) по условию , т. е. случайный процесс , имеет постоянное математическое ожидание;

б) он является интегрируемым на любом отрезке с весом так кале существуют интегралы

в) выполняется достаточное условие (3.15), которое при означает существование предела

Замечание 3.3. Для эргодического по отношению к математическому ожиданию скалярного случайного процесса с известной реализацией в качестве оценки его математического ожидания можно использовать величину

При этом, как известно курса математической статистики [XVII], качество этой оценки возрастает с ростом

Замечание 3.4. Возможность получения оценки математического ожидания эргодического случайного процесса по одной его реализации, т.е. по результатам одного эксперимента, зачастую избавляет исследователей от проведения многочисленных экспериментов, связанных с затратами материальных и временных ресурсов.

Замечание 3.5. Если , — скалярный стационарный случайный процесс, то

Скалярный случайный процесс имеет постоянное математическое ожидание D и при выполнении соответствующих условий является эргодическим по отношению к математическому ожиданию. Таким образом, можно вести речь о том, что исходный случайный процесс , является эргодическим по отношению к дисперсии и рассматривать возможность построения качественной оценки для его дисперсии по одной реализации.

Определение 3.10. Скалярный стационарный случайный процесс второго порядка интегрируемый на Т с весом называют эргодическим по отношению к дисперсии если существует предел

или, что тоже самое,

В заключение отметим, что если скалярный случайный процесс эргодический по отношению к дисперсии Об то скалярный случайный процесс согласно определению 3.6, эргодический относительно математического ожидания . Таким образом, условие

необходимо и достаточно, а условие

достаточно для эргодичности исходного скалярного стационарного случайного процесса , относительно дисперсии.