2.2. Нормальные процессы

Определение 2.3. Случайный процесс называют нормальным, или гауссовым процессом, если любые его конечномерные законы распределения являются нормальными.

Пусть , — -мерный нормальный процесс с математическим ожиданием и ковариационной функцией . В этом случае для любого и для любых известны значения его математического ожидания

и ковариационной функции

Введем в рассмотрение блочные матрицы-столбцы, которые при дальнейших рассуждениях будем называть блочными векторами:

и блочную матрицу

Не останавливаясь на анализе особых случаев, связанных с возможной линейной зависимостью сечений рассматриваемого случайного процесса, будем считать, что

Блочный вектор является (-мерным случайным вектором с математическим ожиданием и ковариационной матрицей . А так как , — нормальный случайный процесс, то случайный вектор распределен по нормальному закону и

является -мерной функцией плотности вероятностей для случайного процесса .

Таким образом, любой конечномерный закон распределения нормального случайного процесса полностью определяется его математическим ожиданием и ковариационной функцией.

Если , — -мерный стационарный нормальный случайный процесс, то его математическое ожидание — постоянный -мерный вектор, а аргументом ковариационной функции является параметр

В силу центральной предельной теоремы [XVI] нормальные случайные процессы в ряде случаев оказываются предельными для сумм возрастающего числа случайных процессов.