2.4. Винеровский процесс

Определение 2.5. Если — -мерный случайный процесс, то его называют винеровским процессом, выходящим из О, если выполнены три условия:

2) для любых , таких, что случайные векторы являются независимыми;

3) для любых , таких, что случайный вектор распределен по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей где — единичная матрица.

Винеровский процесс, или процесс броуновского движения, имел большое значение при разработке теории случайных процессов. Многие распределения, используемые в теории управления, можно моделировать процессами, порождаемыми винеровскими процессами.

В 1827 г. английский ботаник Р. Броун заметил, что маленькие частицы диаметром около микрона, погруженные в жидкость, находятся в постоянном хаотическом движении. В 1905 г. А. Эйнштейн объяснил 'то движение как результат столкновения частиц с молекулами жидкости. Он разработал математическую модель броуновского движения и определил число Авогадро, равное числу молекул в объеме, занятом молем газа.

Строгий математический анализ броуновского движения дал Н. Винер в 1923 г. Эвристически броуновское движение можно объяснить следующим образом. Рассмотрим отдельную частицу, погруженную в жидкость, обозначив через ее координаты в момент времени Будем считать, что в начальный момент времени она находится в начале координат, т.е. Движение частицы на любом конечном временном интервале является результатом изменения импульса (количества движения) вследствие практически бесконечно большого числа независимых друг от друга соударений с молекулами жидкости. Поэтому естественно считать, что применима центральная предельная теорема [XVI]. Кроме того, можно допустить, что:

а) смещения частицы в ортогональных направлениях происходят независимо;

б) , распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией

в) смещение частицы в каждом ортогональном направлении на различных непересекающихся временных интервалах представляется независимыми случайными величинами

г) смещение частицы в каждом ортогональном направлении на временном интервале равное , имеет ту же функцию распределения, что и смещение

Отметим также, что дисперсия обладает любопытным свойством:

где постоянную интерпретируют как коэффициент диффузии. Действительно, согласно допущению в), случайные величины являются независимыми. Поэтому

или

А так как, согласно допущению г),

то

откуда и следует отмеченное свойство (см. пример 2.3). Заметим, что этот результат является следствием из рассмотренных свойств процессов с ортогональными приращениями.

Замечание 2.1. Если в определении винеровского процесса условие заменить условием где то получим определение винеровского процесса, выходящего из точки

Замечание 2.2. Если — винеровский процесс с коэффициентом диффузии то случайный процесс , называют стандартным винеровским процессом. Для любых , таких, что случайный вектор распределен по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей

Следует также отметить два характерных свойства винеровских процессов.

1. Винеровский процесс является процессом со стационарными приращениями.

2. Если — винеровский процесс и — его коэффициент диффузии, то для любых , таких, что ковариационная функция равна

так как винеровский процесс является процессом с независимыми приращениями.

Пример 2.4. Докажем, что винеровский процесс является нормальным процессом.

Для упрощения дальнейших рассуждений ограничимся рассмотрением скалярного винеровского процесса предполагая, что он является стандартным. Докажем, что для любых и , таких, что случайный вектор

распределен по нормальному закону.

Пусть далее

Согласно определению 2.5 винеровского процесса, плотность распределения (вероятностей) случайного вектора является плотностью -мерного нормального распределения [XVI], которая в данном случае имеет вид

Если ввести в рассмотрение матрицу

то, согласно общей теории построения законов распределения функций случайных величин [XVI], с учетом очевидных равенств

имеем

Таким образом, если то -мерная плотность распределения (вероятностей)

является плотностью -мерного нормального распределения, что и требовалось доказать.