3.4. Интегрируемость случайного процесса

Определение 3.8. Скалярный случайный процесс второго порядка называют интегрируемым на множестве Т с весом , где — неслучайная функция, определенная на , если существует скалярный случайный процесс такой, что независимо от выбора разбиения параметром

существует предел

По поводу интегрируемых случайных процессов второго порядка отметим следующее.

1. Если скалярный случайный процесс является интегрируемым на Г с весом , то скалярный случайный процесс обозначают как интеграл:

2. Если , то для интегрируемого на Т случайного процесса ,

случайная величина.

единичная функция, то

скалярный случайный процесс, который называют интегралом с переменным верхним пределом от скалярного интегрируемого случайного процесса.

Теорема 3.8. Скалярный случайный процесс второго порядка является интегрируемым на множестве Т с весом тогда и только тогда, когда на Т с весом интегрируемо его математическое ожидание и на с весом интегрируема его ковариационная функция. Доказательство данной теоремы имеет много общего с доказательством теоремы 3.7. Поэтому известные свойства и оценки будем использовать без дополнительных пояснений.

Необходимость. При доказательстве необходимости предполагаем интегрируемость скалярного случайного процесса на множестве Т с весом . В этом случае для любого разбиения имеет место тождество (3.7).

Таким образом,

откуда и следует интегрируемость математического ожидания, т.е. существует

Далее, кроме произвольного разбиения множества Г, выберем произвольным образом еще одно разбиение с параметром и введем функции разбиений

С учетом тождества (3.7) имеем

Таким образом,

откуда следует интегрируемость ковариационной функции, так как, например,

а условие интегрируемости математического ожидания выполняется.

Достаточность. Пусть теперь выполнены условия (3.5). С учетом обозначений, введенных при доказательстве необходимости и существования интеграла, имеем

Совершенно аналогично можно доказать равенства

Таким образом,

откуда, согласно стохастическому критерию Коши, и следует достаточность в утверждении теоремы.

Следствие 3.4. Если — интегрируемый на множестве Т с весом скалярный случайный процесс второго порядка и

то

Следствие 3.5. Если — скалярный случайный процесс второго порядка, интегрируемый на множестве Т с весом где — единичная функция, то скалярный случайный процесс

является дифференцируемым на множестве Т и

Действительно, в рассматриваемом случае из равенств

в точках непрерывности подынтегральных функций следуют равенства [VI], [VII]

и осталось воспользоваться теоремой 3.7.

Следствие Если скалярный случайный процесс второго порядка интегрируем на множестве Т с весом и

то

Пример 3.7. Пусть — скалярный винеровский процесс, выходящий из нуля. Докажем, что он является интегрируемым на Т с весом

В рассматриваемом случае имеем

где

Таким образом,

Но в этом случае существует

причем

и существует

Пример 3.8. Пусть — скалярные случайные процессы, определенные в примере 3.7. Найдем их совместный закон распределения при каждом фиксированном , т.е. одномерный закон распределения векторного случайного процесса

Предварительно отметим, что в смысле СК-сходимости операции интегрирования и дифференцирования случайных процессов сводятся к суммированию с весами их сечений и последующему предельному переходу. А из курса теории вероятностей [XVI] известно, что линейная комбинация конечного числа случайных величин, распределенных по нормальному закону, — случайная величина, распределенная по нормальному закону. Таким образом, можно утверждать, что, как при интегрировании, так и при дифференцировании нормальных процессов, являющихся соответственно интегрируемыми или дифференцируемыми, получаем нормальные процессы.

В рассматриваемом случае — скалярный винеровский процесс, выходящий из нуля. Он является нормальным скалярным процессом с нулевым математическим ожиданием и дисперсией (см. пример 2.4). А так как

то — нормальный скалярный процесс с математическим ожиданием и дисперсией (см. пример 3.7). При этом, согласно следствию 3.6,

Поэтому при любом фиксированном можно считать, что двумерный случайный вектор распределен по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей

Таким образом, одномерная функция плотности вероятностей двумерного векторного случайного процесса имеет вид