4.4. Преобразование стационарного случайного процесса при его прохождении через линейную динамическую систему

В 3.5 уже рассмотрена задача о преобразовании случайного процесса при его прохождении через линейную динамическую систему и отмечались трудности, возникающие при ее решении. Спектральная теория стационарных (в широком смысле) случайных процессов открывает новые возможности исследования подобных задач. Они аналогичны возможностям теории интегральных преобразований применительно к решению задач математической физики и задач Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений.

В этом разделе под стационарным случайным процессом будем понимать стационарные случайные процессы в широком смысле.

Теорема 4.4. Пусть — стационарные скалярные случайные процессы со спектральными плотностями соответственно. Пусть случайный процесс , является раз дифференцируемым на множестве Т. Если

то имеет место равенство

Для доказательства теоремы достаточно воспользоваться свойствами 4.1, 4.2 д)-е) ковариационной функции, определением спектральной плотности и ее свойствами 4.2 а)-г). Действительно, если

то имеет место равенство (см. следствие 3.3)

или, что тоже самое,

откуда и вытекает нужный результат. Законность дифференцирования под знаком интеграла следует из существования производной для исходного случайного процесса, что эквивалентно сходимости несобственного интеграла [VI]

Теорема 4.5. Если — стационарный раз дифференцируемый на Т скалярный случайный процесс со спектральной плотностью и

где — известные постоянные, то — стационарный скалярный случайный процесс со спектральной плотностью

Так как — стационарный случайный процесс, то его математическое ожидание является величиной постоянной и

Согласно теореме 4.3,

А так как случайный процесс является раз дифференцируемым на Т, то, как и при доказательстве теоремы 4.3, приходим к равенству

и, как следствие, получаем

Таким образом, с учетом равенства и теоремы 4.3 имеем

откуда и следует искомый результат.

На практике встречаются весьма разнообразные варианты преобразований стационарного случайного процесса при его прохождении через линейную динамическую систему. Рассмотрим достаточно общий случай.

Пусть — стационарный раз дифференцируемый на Т скалярный случайный процесс с математическим ожиданием и спектральной плотностью а скалярный случайный процесс является раз дифференцируемым на Т и удовлетворяет уравнению

в котором — известные постоянные.

Случайный процесс , можно рассматривать как стационарный скалярный случайный процесс с математическим ожиданием и спектральной плотностью лишь при достаточно больших значениях времени , т.е. лишь после затухания переходных процессов. В этом случае имеем

откуда

где функцию

называют частотной характеристикой динамической системы, которая описывается дифференциальным уравнением (4.15).

Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим два примера.

Пример 4.6. Рассмотрим задачу прохождения белого через линейную динамическую систему первого порядка, описываемую обыкновенным дифференциальным уравнением

где — известный параметр, а случайный процесс имеет постоянную спектральную плотность.

Согласно равенствам (4.15), (4.16) и (4.17),

Реально скалярный случайный процесс , не является белым шумом, но его можно аппроксимировать „белым шумом“ со спектральной плотностью (см. пример 4.5)

В этом случае при определении дисперсии случайного процесса

возникает погрешность . Оценим ее:

Относительная погрешность для дисперсии оценивается следующим образом:

Пример 4.7. Пусть функционирование линейной динамической системы описывается линейным дифференциальным уравнением первого порядка

где — известные параметры, — стационарный скалярный случайный процесс с математическим ожиданием и ковариационной функцией

Найдем математическое ожидание и дисперсию реакции системы на входной сигнал , если его производная рассматривается в классе обобщенных функций (см. пример 4.5).

Согласно равенствам (4.15), (4.16) и (4.17),

А так как (см. пример 4.3)

то спектральная плотность реакции изучаемой динамической системы равна

Воспользовавшись свойством 4.2 е) спектральной плотности, находим

где использованы обозначения

Окончательный результат можно представить в следующем виде: