Вопросы и задачи

4.1. Можно ли в условиях теоремы 4.2 считать, что ковариационная функция удовлетворяет условию но не удовлетворяет условиям теоремы Дирихле?

4.2. Определена ли спектральная плотность стационарного случайного процесса, ковариационная функция которого удовлетворяет условию

4.3. Пусть для стационарных случайных процессов выполнены условия теоремы 4.3, т.е. существуют интегральные представления

Пусть случайные функции и обладают свойством

(функцию называют взаимной спектральной плотностью исходных случайных процессов). Докажите, что в этом случае:

г) если исходные случайные процессы являются комплексными, то

д) если исходные случайные процессы являются вещественными,

4.4. Найдите ковариационную функцию стационарного случайного процесса если его спектральная плотность равна

Ответ:

4.5. Пусть — дифференцируемый стационарный скалярный случайный процесс и Определите если известна спектральная плотность

где — известные величины.

Ответ:

Указание: предварительно докажите равенство

4.6. Определите ковариационную функцию стационарного случайного процесса если известна его спектральная плотность

где — известные величины.

Ответ:

4.7. Определите спектральную плотность стационарного скалярного случайного процесса если известна его дисперсия и корреляционная функция

где — известная величина.

Ответ:

Рис. 4.3

4.8. Найдите спектральную плотность стационарного скалярного случайного процесса ковариационная функция которого:

а) равна где а — известные величины;

б) задана графически (рис. 4.3).

Ответ:

4.9. Пусть — нормальный стационарный скалярный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией Пусть . Докажите, что

Указание: последовательно докажите следующие утверждения:

4.10. Пусть — нормальный стационарный скалярный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией

где а, (3 — известные положительные величины. Определите спектральную плотность случайного процесса

Ответ

Указание: используя равенство результаты задачи 4.9 и свойства спектральной плотности, Докажите, что

4.11. Пусть — нормальные стационарные скалярные случайные процессы с нулевыми математическими ожиданиями и

Докажите, что

где — взаимные спектральные плотности.

4.12. Два стационарных скалярных случайных процесса связаны равенством

Определите математическое ожидание и дисперсию случайного процесса если где а — известная положительная величина. Ответ:

Указание: используйте свойства спектральной плотности.

4.13. Работу дифференцирующей -цепочки (рис. 4.4) описывает уравнение

Рис. 4.4

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного процесса если где — известные величины.

Ответ:

4.14. Функционирование интегрирующего устройства моделируется уравнением

где — известные положительные величины, — белый шум с интенсивностью Определите спектральную плотность и ковариационную функцию случайного процесса .

Ответ

4.15. Ошибка измерения ускорения самолета акселерометром определяется уравнением

где — известные постоянные, а случайный процесс характеризующий случайные возмущения, испытываемые чувствительным элементом акселерометра, является белым шумом с интенсивностью Найдите дисперсию скорости самолета, определяемой путем интегрирования показаний акселерометра в течение времени t, если при интегрировании не возникает дополнительных ошибок, а время переходного процесса много меньше

Ответ:

Указание: ошибка в определении скорости самолета равна

4.16. Пусть дана система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами , соответствующая устойчивой динамической системе

где — стационарные скалярные случайные процессы с известными ковариационными и взаимными ковариационными функциями. Пусть время t велико. Докажите, что — стационарные случайные процессы, спектральные и взаимные спектральные плотности которых определяются равенствами:

где — определитель матрицы (Е — единичная матрица); — алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя

взаимная спектральная плотность, а

взаимная ковариационная функция стационарных случайных процессов

4.17. Пусть — стационарные скалярные случайные процессы с известными спектральными плотностями

и взаимной спектральной плотностью

где — известные величины. При больших значениях времени определите если при

Ответ: