7.3. Стохастические интегралы и дифференциалы

Изучение нелинейных стохастических моделей состояния вида (7.7)

представляет собой сложную задачу, успех решения которой в значительной степени зависит от конкретного вида правой части матричного нелинейного стохастического дифференциального уравнения. Но общие принципы и особенности исследования таких моделей можно установить.

Именно этому и посвящен данный параграф. Предполагается, что для любого фиксированного соответствующая детерминированная задача Коши удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения. Это означает, что матричные функции удовлетворяют определенным условиям гладкости, а исходная математическая модель может быть представлена в виде интегрального уравнения

Первый интеграл в правой части уравнения (7.20) представляет собой интеграл от случайной функции по времени, а второй — интеграл от случайной функции по винеровскому процессу. Понятие стохастического интеграла по винеровскому процессу и его свойства требуют обстоятельного изучения. Изучение таких интегралов начнем с простого примера.

Пример 7.3. Пусть — скалярный винеровский процесс с коэффициентом диффузии Рассмотрим интеграл от винеровского процесса по этому же винеровскому процессу:

Отметим сразу, что если — непрерывно дифференцируемая неслучайная функция, то

Для любых интеграл определяют следующим образом. Пусть — параметр, Тогда

А так как , — винеровский процесс, то , — независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равйои Таким образом, случайная величина

распределена по закону с одной степенью свободы и, значит [XVII],

Поэтому

Введем случайные величины

Они являются независимыми как функции от независимых случайных величин и

Но тогда

так как

при а любая случайная величина с нулевым математическим ожиданием и нулевой дисперсией есть нуль. Таким образом,

и мы имеем однопараметрическое семейство интегралов с параметром

Замечание 7.4. В практике научных исследований используют два типа стохастических интегралов из множества

Интеграл внешне совпадает с интегралом от неслучайной функции На первый взгляд, следовало бы именно его использовать при анализе стохастических моделей состояния. Но далее убедимся, что интеграл имеет ряд преимуществ при решении задач о нахождении математического ожидания случайного процесса.

Рассмотрим интеграл по случайному процессу от неслучайной функции:

где — непрерывная неслучайная скалярная функция, , — дифференцируемый скалярный случайный процесс с ортогональными приращениями, причем для любых

Определение 7.2. Стохастическим интегралом от неслучайной скалярной функции , по дифференцируемому скалярному случайному процессу со стационарными независимыми приращениями , в пределах от до называют случайную величину

определяемую равенством

где

Покажем, что при сделанных предположениях относительно неслучайной функции и случайного процесса ,

Действительно, согласно определению 7.2, из свойств скалярного случайного процесса следует, что

где в соответствии с принятыми допущениями использовано свойство дифференцируемости функции. Таким образом, равенство (7.21) доказано.

Для доказательства равенства (7.22) рассмотрим центрированный случайный процесс

и напомним (см. пример 2.3), что для случайного процесса с ортогональными приращениями

С учетом этого рассмотрим разность

Таким образом,

где в соответствии с принятыми допущениями использовано определение дифференцируемости функции. Таким образом, равенство (7.22) также доказано полностью.

Теперь перейдем к рассмотрению важного случал, когда подынтегральная функция зависит от винеровского процесса.

Определение 7.3. Пусть — -мерный винеровский процесс, выходящий из и — матричная функция типа , определенная для всех . Если для любых , таких, что и для любого существует предел

где его называют стохастическим интегралом функции по винеровскому процессу , и обозначают При этом, если то его называют стохастическим интегралом Ито, а при — стохастическим интегралом Стратоновича.

Замечание 7.5. Прежде, чем приступать к изучению свойств стохастического интеграла по винеровскому процессу, отметим три важных момента, относящихся к дальнейшим рассуждениям.

Во-первых, будем далее предполагать, что матричная функция удовлетворяет определенным условиям гладкости, в частности, имеет непрерывные первые и вторые частные производные по для всех

Во-вторых, чтобы избежать недоразумений и не путать стохастические интегралы Ито и Стратоновича, интеграл будем записывать как и выше:

а в интеграле Стратоновича будем ставить „звездочку" при дифференциале:

В-третьих, для упрощения выкладок при доказательстве свойств стохастических интегралов Ито и Стратоновича, будем рассматривать случай скалярной функции и скалярного винеровского процесса. Обобщение результатов на случай матричной функции и векторного винеровского процесса связано лишь с техническими трудностями.

Теорема 7.4. Интеграл имеет нулевое математическое ожидание и

По определению интеграла имеем

так как математическое ожидание винеровского процесса равно нулю и для любых случайные величины независимы.

Равенство (7.23) можно доказать аналогично. Следует лишь учесть, что в соответствии с определением 2.6 винеровского процесса с коэффициентом диффузии при

Действительно,

Для того чтобы определить математическое ожидание и дисперсию для интеграла Стратоновича, установим связь между

Теорема 7.5. Интегралы Ито и Стратоновича связаны следующим равенством:

По определению 7.3 интеграла Стратоновича имеем

Используя формулу Тейлора в окрестности точки и ограничиваясь линейными членами, получаем

где приближенное равенство понимают в смысле среднего квадратичного 3.1. Подставляя это выражение в правую часть (7.25), находим

Первое слагаемое в правой части этого равенства по определению 7.3 является интегралом Ито. Второе слагаемое тождественно равно нулю, так как элементы суммы в смысле среднего квадратичного имеют порядок Действительно (см. пример 7.3, также 3.1),

Можно также показать, что третье слагаемое равно

и доказательство завершено.

Из теорем 7.4, 7.5 следуют равенства

Если — матричная функция типа — -мерный винеровский процесс, то

где столбец матричной функции

Эти результаты, равно как и выражения для математического ожидания и ковариационной функции для интеграла Стратоновича, можно получить, используя технику доказательства теорем 7.4, 7.5.

Теперь вернемся к исходной нелинейной стохастической модели состояния (7.7) в интегральном представлении (7.20). Возникает естественный вопрос: какой стохастический интеграл по винеровскому процессу записан в правой части этого уравнения — Ито или Стратоновича?

Можно показать, что в интегральном представлении (7.20) исходной стохастической модели состояния (7.7), полученной Как результат введения процесса случайных возмущений в детерминированную модель, стохастический интеграл по винеровскому процессу представляет собой интеграл Стратоновича. Таким образом, в соответствии с замечанием 7.5 исходная нелинейная стохастическая модель состояния в интегральном представлении имеет следующий вид:

Ее называют стохастической моделью состояния в форме Стратоновича. При этом, чтобы подчеркнуть, что именно она соответствует рассматриваемой стохастической модели состояния (7.7), при записи последней вместо пишут Соответственно и исходную стохастическую модель состояния представляют в виде

Если -мерный случайный процесс задан стохастической моделью состояния (7.32) или стохастической моделью состояния в форме Стратоновича (7.31), то он зависит от винеровского процесса Поэтому в рассуждениях случайный процесс , более удобно и корректно обозначать как Используя это обозначение и равенство (7.28), связывающее интеграл Стратоновича с интегралом можно показать, что стохастическая модель состояния в форме Стратоновича (7.31) может быть преобразована к следующему виду:

где представляет собой столбец матричной функции Интегральное представление (7.33) исходной стохастической модели состояния (7.32) называют стохастической моделью состояния в форме

Определение 7.4. Пусть случайный процесс удовлетворяет уравнению (7.31). В этом случае выражение

называют стохастическим дифференциалом случайного процесса , в форме Стратоновича.

Стохастический дифференциал в форме Ито для исходной стохастической модели состояния имеет вид

что следует из (7.33).

Обратим внимание на то, что в случае , вид соответствующих представлений исходной стохастической модели состояния в форме Ито и Стратоновича (7.34) и (7.32), (7.33) и (7.31) совпадает с точностью до обозначений соответствующих интегралов.

В этой книге даны лишь минимальные сведения из дифференциального исчисления Ито и Стратоновича, необходимые для усвоения основного материала. Более полную информацию по этому вопросу можно получить из специальной литературы. Отметим, что основные правила дифференциального и интегрального исчислений Стратоновича аналогичны обычным правилам дифференцирования и интегрирования функций одного и многих переменных [II], [V], [VI], [VII]. Сказанное не относится к дифференциальному и интегральному исчислениям Ито.

Пример 7.4. Рассмотрим скалярную стохастическую модель состояния в форме Ито:

и найдем дифференциал скалярной функции предполагая, что она удовлетворяет необходимым условиям гладкости.

Воспользовавшись разложением в ряд Тейлора и ограничившись в нем членами второго порядка, получаем

Поскольку в смысле среднего квадратичного элементы в правой части равенства, заключенные в квадратные скобки, имеют порядки малости соответственно, то при дальнейшем анализе ими можно пренебречь. Таким образом, с учетом исходной стохастической модели состояния имеем

В правой части этого равенства во второй квадратной скобке лишь третье слагаемое имеет порядок малости поскольку

Таким образом,

Равенство (7.35) известно как правило дифференцирования Ито. В общем случае, когда — -мерный случайный процесс, — -мерная векторная функция, а — матричная функция типа правило дифференцирования имеет вид

где элемент вектора

Отметим, что в обычном дифференциальном исчислении, в отличие от дифференциального исчисления

Пример 7.5. Рассмотрим скалярную стохастическую модель состояния

где — белый шум с нулевым математическим ожиданием и спектральной интенсивностью — параметр.

Представив процесс случайных возмущений как производную от винеровского процесса, запишем исходную стохастическую модель состояния в форме Стратоновича (7.32):

с последующим переходом к форме Ито (7.34):

Применив к стохастической задаче Коши (7.36) оператор математического ожидания с учетом того, что получаем

Таким образом, математическое ожидание состояния равно

Для нахождения дисперсии состояния введем функцию

Тогда

По правилу дифференцирования Ито (7.35) находим

А так как

то приходим к задаче Коши для

решив которую, находим

Для определения типа закона распределения случайного процесса введем функцию

и воспользуемся правилом дифференцирования . После преобразований получаем

А так как уравнение (7.37) является линейным относительно функции то этот случайный процесс имеет нормальное распределение, а случайный процесс — логарифмически нормальное распределение.

Отметим, что уравнение (7.37) непосредственно вытекает из исходной математической модели, представленной в форме Стратоновича. Но при использовании дифференциала Стратоновича нам не удалось бы так просто получить уравнения для определения математического ожидания и дисперсии случайного процесса

В заключение отметим следующие моменты.

1. Совершенно очевидно, что в общем случае установить даже одномерный закон распределения случайного процесса , удовлетворяющего нелинейной стохастической задаче Коши (7.7), не так-то просто.

2. Практически полностью повторив доказательство теоремы 7.2 для нелинейной стохастической задачи Коши (7.7) в предположении, что для каждого фиксированного и выполнены условия теоремы существования и единственности ее решения, приходим к выводу, что случайный процесс , является -мерным марковским процессом. Поэтому дальнейшая перспектива в изучении нелинейных стохастических моделей состояния связана с изучением специфических свойств марковских процессов, чему и посвящена следующая глава.