55. Метод функции Грина для задачи Дирихле (трехмерный случай).

Метод функции Грина базируется на формуле Грина, являющейся следствием формулы Остроградского—Гаусса (см. [1], п. 152):

где - граница области — единичный вектор внешней нормали к — проекция вектора А на направление .

Пусть — две любые дважды дифференцируемые функции и

Тогда

Поскольку скалярное произведение градиеша функции на единичный вектор равно производной функции по направлению этого вектора, то

Поэтому выражение для примет вид

Перейдем теперь к вычислению . Преобразуем каждое из выражений в правой части:

и аналогично

Поэтому

Подставляя выражения для через в формулу (18.4), получим формулу Грина

Нам понадобится, однако, обобщение этой формулы на тот случай, когда область ограничена не одной, а двумя поверхностями. Пусть область W ограничена снаружи замкнутой поверхностью S и изнутри замкнутой поверхностью лежащей целиком внутри S (так что - это часть внутренности S, внешняя относительно ). Тогда формула Остроградского—Гаусса (18.4) запишется в виде

где — единичный вектор внешней нормали к т. е. вектор, направленный внутрь (внутренность не принадлежит и поэтому является областью, внешней относительно ).

Соответственно формула Грина (18.5) примет вид

Эта формула и служит основой метода функции Грина решения задачи Дирихле в пространстве.

Рис. 61

Введем теперь определение самой функции Грина для трехмерного случая. В качеаве поверхности 5 возьмем границу Г области Q, для которой мы решаем задачу Дирихле, и выберем внутри Г произвольную, но фиксированную точку которую окружим сферой радиуса с центром в А При этом мы предположим, что сфера целиком лежит внутри Г (рис. 61). Тогда между мы имеем область W. Обозначим, далее, через любую точку области отличную от А, и через — рассюяние между точками А и Р:

Легко проверить, что функция

является гармонической, т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках, кроме самой точки А, в которой она обращается в бесконечность.

Действительно,

и

аналогично

и

Еще проще в этом можно убедиться, если рассмотреть лапласиан в сферической системе координат с началом в точке А (см. (18.2")); тогда так как не зависит от .

Обозначим, далее, через решение задачи Дирихле области с краевым условием

Согласно определению функция — гармоническая уже во всей области Q, в время — гармоническая только в области W, получающейся удалением из области сферы содержащей точку А (таким образом, область W не содержи и точки А). Поясним простым примером. Пусть — шар радиуса 1 с центром в начале координат, Г — его граница и точка А совпадает с началом координат. Тогда . В то же время функция, принимающая на Г значения, равные 1, и гармоническая во всем шаре, будет, очевидно, тождественно равна единице: особенно ясно из физических соображений: если температура в точках тела не меняется с течением времени, а на границе тела постоянна, то она вообще будет величиной постоянной).

Этим примером подчеркивается, что функции w и совпадают, вообще говоря, только на границе Г.

Разность функций — w называется функцией Грина для области Q и обозначается обычно через

Обратим внимание на то, что функция Грина зависит как от координат х, у, z текущей точки Р, так и от координат произвольно выбранной, но фиксированной точки А (последние входят в явном виде в w, но они войдут также через краевые значения и в ).

Особо отметим, что, в силу условия (18.7), функция Грина на границе Г обращается в нуль.

Пусть теперь — искомая гармоническая функция в обласш Q, принимающая на границе Г значения ; положим и применим к области W формулу Грина (18.6). Тогда, ввиду того что в этой области правам часть формулы Грина обращается в нуль, и мы получим следующее равенство:

Второй из этих интегралов в силу равенства (18.9) и условия и сведется к

Для вычисления первого интеграла введем систему сферических координат с началом в точке А. Тогда на

Следовательно, равенство (18.10) перепишется в виде

Правая часть этого равенства, очевидно, не зависит от . Поэтому она должна быть равна также и пределу левой часги при :

Чтобы вычислить этот предел, заметим, что по формуле (18.8) (так как мы теперь обозначаем через ). Тогда

Функции — гармонические во всей области , включая точку А. Поэтому они вместе со своими производными ограничены (точное доказательство этого факта мы не проводим; отметим лишь, что с физической стороны он совершенно ясен: функции и а можно толковать как некоторые стационарные распределения температур в однородном теле). Это значит, что

Со вторым интегралом дело обстоит сложнее, так как неограниченно возрастают при

Найдем предел каждого слагаемого в отдельности:

Так как функция непрерывна, то . Считая возможным переход к пределу под знаком интеграла, получим

Далее, в силу ограниченности

Таким образом, предел в левой части равенства (18.11) есть просто , так как при в качестве аргументов функции и мы получаем координаты точки А. Теперь формула (18.11) принимает окончательный вид:

(18.12)

Эта формула дает решение задачи Дирихле в пространстве, если известна функция Грина Q; действительно, мы получили значение искомой функции и в любой точке А области .

Примечание. В некоторых руководствах под функцией Грина понимается функция, отличающаяся от функции (18.8) знаком. Соответственно появляется знак минус перед интегралом в формуле (18.12).