31. Функции Бесселя первого порядка.

Найдем еще выражение для функции Бесселя первого порядка, т. е. . Подставляя ряд (10.3) и его производные в уравнение

(10.14)

получим

Объединяя первую, вторую и четвертую суммы вместе и замечая, что слагаемые, содержащие (во второй и четвертой суммах), уничтожаются, перепишем последнее равенство в виде

Отсюда ясно, что . Это значит, что решение в виде ряда существует только тогда, когда

Рекуррентная формула, при помощи которой коэффициент выражается через выглядит так:

Поскольку то отсюда последовательно получаем, что все коэффициенты с четными индексами равны нулю:

Коэффициенты с нечетными индексами выразим через

Знаменателю выражения для удобнее придать несколько иной вид:

Подставляя коэффициенты в разложение (10.3) и полагая , получим функцию Бесселя порядка 1 (первого рода)

График функций показан на рис. 41; эта функция нечетная. Функция так же как и функция имеет бесчисленное множество корней

Рис. 41.

Приведем значения первых из них с двумя знаками после запятой:

Как и на стр. 134, отметим, что — для больших .

Относительно таблиц значений функции смотри сноску на стр. 134. Отметим часто встречающуюся формулу

(10.16)

которая получается почленным дифференцированием ряда (10.9) для . Эта формула позволяет при помощи таблиц для вычислять значения входящие в формулу (10.11).

Рис. 42.

Согласно формуле (10.16) функция имеет экстремумы именно в тех точках, в которых функция обращается в нуль, т. е. в точках . Из рис. 42 видно, что корни функций Бесселя нулевого и первого порядков перемежаются, т. е. между двумя любыми последовательными корнями функции лежит обязательно один корень функции и наоборот.

Рассуждая аналогично, модно найти выражения для функций Бесселя любого целого порядка

Из общей формулы (10.17) при получаются функции Бесселя Во всех случаях мы каждый раз находим одно частное решение уравнения; формула для второго частного решения имеет более сложный вид. Соответствующая функция также стремится к со при . Выражения для бесселевых функций не цеюго порядка мы не приводим.