14. Колебания струны в среде с сопротивлением.

До сих пор мы все время рассматривали колебания струны, не учигывая сопротивления окружающей среды.

Естественно, что при этом получались незатухающие колебания. Рассмотрим теперь случай, когда колебания струны происходят при наличии сопротивления среды. Силу сопротивления, возникающую при этом, примем пропорциональной скорости движения (такой же закон для силы сопротивления принимается и при изучении гармонических колебаний точки). Тогда на бесконечно малый участок струны (см. § 1, рис. 4) действует сила

где — коэффициент пропорциональности. Рассуждая так же, как при выводе уравнения (1.12), и учитывая, что сила сопротивления всегда направлена против движения, придем к уравнению

где введено обозначение (все остальные обозначения такие же, как в § 1). Ограничиваясь случаем свободных колебаний, запишем уравнение (4.15) в виде

Начальные и краевые условия имеют прежний вид, т. е.

Решение уравнения (4,16) с условиями (4.17) опять будем производить методом Фурье.

Полагая и поступая, как в § 3, получим

Поскольку краевые условия для функций остались такими же, как и для случая колебаний без сопротивления, то равенство (4,18) будет возможно, если обе его части равны , где - собственные числа при этом собственные функции определяются по формуле (3.10) (мы опускаем числовые коэффициенты):

Для определения функций получим дифференциальное уравнение

Его характеристическое уравнение

имеет корпи

Мы будем предполагать, что коэффициент трения настолько мал, что подкоренное выражение отрицательно для любых значений . Ясно, что это будет тогда, когда . Вводя обозначение получим

Следовательно, общее решение уравнения (4.19) таково:

По функциям составим выражения для частных решений :

Каждая из полученных стоячих воли благодаря множителю является затухающей.

Переходя ко второй части метода Фурье, составим ряд

и подберем его коэффициенты так, чтобы удовлетворялись начальные условия. При

и величины определяются уже известной формулой (3.16):

Находя производную и полагая получим

откуда

и

Пример. Пусть в примере 1 п. 12 дополнительно предположено, что струна колеблется в среде с сопротивлением, причем условию начальные скорости , поэтому

Предоставляем читателю установить, что решение будет иметь вид

где