46. Примеры.

Пример 1. Левый конец полубескопечного стержня (как и его боковая поверхность) теплоизолирован. Начальное распределение температуры:

Найдем По формуле (15.3) имеем

полагая для первого слагаемого а для второго найдем, что

В частности, полагая получим

Вид графиков и при фиксированных значениях виден на рис. 59.

Так как теплообмена с окружающей средой нет, то площадь под каждым графиком равна (заштрихована на рис. 59).

Рис. 59.

Представляет интерес предельный случай решения (15.4) при Если положим

и

так что

Дифференцируя по найдем, что

Так как

то и, следовательно,

Но очевидно, что осуществленный в начальном условийи предельный переход означает, что

где — функция Дирака (см, стр, 164). Таким образом, решением задачи для полубесконечного стержня при краевом условии (13.1) и начальном условии (15.7) является сумма фундаментальных решений

см. формулу (13.18)). Это можно усмотреть и непосредственно.

Пример 2. Левый конец полубссконечного сгержня (с теплоизолированной боковой поверхностью) поддерживается при постоянней температуре Начальное распределение температуры то же, что в примере 1. Показать, в этом случае (но формуле (15.3"))

рассмотреть частный случай решения при и приближeнно нарисовать графики и при фиксированных значениях .

Пример 3. Показать, что при условиях примера 2, по при начальном условии решение имеет вид