Макеты страниц 7. Распространение волн отклонения.Пусть начальные скорости точек струны равны нулю и струна колеблется в результате начального отклонения. В этом случае в формуле (2.8) надо положить
Так как функция
Рис. 6. В начальный момент времени Предположим, что в начальный момент функция До тех пор, пока есгь участок, где обе волны накладываются друг на друга; начиная с момента Из сказанного можно сделать заключение о характере колебания точки струны с фиксированной абсциссой Как только волна пройдет через рассматриваемую точку, т. е. начиная с момента Это неравенство удобнее записать так: Если Очень наглядное изображение описанного процесса можно получить, введя фазовую плоскость Точкам, лежащим на прямой
Рис. 1. Эти прямые называются характеристиками. При этом полуплоскость Пусть Читатель легко проверит, что в точке
Ясно, что при переходе Точно так же можно получить выражения для функции
Рекомендуем читателю самостоятельно написать выражения для Описанный процесс представляет распространение одиночной волны отклонения; после прохождения такой волны точки струны возвращаются в свое исходное положение на оси абсцисс. Как мы уже отмечали, такой процесс может наблюдаться в очень длинной струне до тех пор, пока волны, бегущие по струне, не дойдут до ее концов. Перед тем как перейти к конкретному примеру, необходимо сделать одно важное замечание. Мы рассматриваем уравнение
с начальными условиями
Поэтому функция
только тогда будет решением уравнения, когда у нее существуют вторые производные по Во всех таких случаях функцию Это объясняется тем, что всегда можно, чуть-чуть изменив начальные условия, добиться того, чтобы функции Заметим, что реальные начальные условия всегда имеют именно такой сглаженный характер, так что придание им формы, изображенной на рис. 8, является дополнительной идеализацией процесса. В то же время можно доказать, что малые изменения начальных условий влекут за собой малые же изменения решения. Поэтому решения, полученные при помощи сглаживания начальных условий, будут сколь угодно мало отличаться от тех, которые мы получаем по формуле (2.8), когда функции
Рис. 8. Вообще, если решение задачи единственно и непрерывно зависит от начальных условий, т. е. малые изменения последних влекут за собой малое изменение решения, то говорят, что решение задачи устойчиво или что задача поставлена корректно. Учитывая это замечание, мы в дальнейшем при рассмотрении примеров никогда не будем требовать, чтобы начальные условия обязательно удовлетворяли условиям непрерывности и дифференцируемости. Пример 1. Начальные отклонения точек струны имеют форму треугольника, изображенного на рис. 8, а начальные скорости равны нулю. Составим выражения для функции Функция
В точках Как мы уже видели, выражения для отклонения
Рис. 9. Из рис. 9 видно, что точки струны, лежащие в интервалах
Если мы хотим получить форму волны в фиксированный момент времени, то должны выписать значения функции
Во всех случаях функция u(x, t) непрерывна. Советуем читателю построить формы струны в различные моменты времени по найденным формулам и чисто геометрически и сравнить полученные графики.
|
Оглавление
|