28. Стоячие волны с одинаковой частотой.

В заключение кратко остановимся на одной важной особенности колебаний мембраны. При колебаниях струны каждой собственной частоте соответствовала одна стоячая волна, вполне определяющая форму струны.

При колебаниях мембраны одной а той же собственной частоте может соответствовать несколько различных стоячих волн. Проще всего это проследить на квадратной мембране. Примем для простоты, что стороны квадрата равны и что начальные скорости точек мембраны равны нулю: Тогда из (9.17) следует, что все и общее выражение для решения примет вид (см. формулу (9.13))

В разложении (9.18) содержится только одна стоячая волна, соответствующая наименьшей частоте Это будет волна . Следующие частоты, и обе равны . Поэтому частоте соответствуют в рассматриваемом колебании две волны:

Общее колебание квадратной пластинки с частотой а представляется суммой стоячих волн

Узловые линии такого колебания, отличные от сторон мембраны, будут иметь уравнение

Если , то узловой линией служит отрезок прямой

(рис. 37), а если , то отрезок прямой (рис. 38).

Рис. 37.

Рис. 38.

Рис. 39.

В случае, когда из уравнения следует, что т. е. что узловой линией будет диагональ квадрата (рис. 39). Если же то и узловой линией будет другая диагональ: (проведена пунктиром на рис. 39).

При произвольных узловая линия может иметь очень сложную форму; отметим только, что она всегда проходит через центр квадрата — левая часть уравнения обращается в нуль.

При рассмотрении более высоких частот могут встретиться самые разные случаи. Так, частоте соответствует только одна стоячая волна; частоте — две волны: , а частоте — три: Ясно, что, чем больше различных волн соответствует данной частоте, тем сложнее картина распределения узловых линий.

Существует любопытный прием, при помощи которого можно практически получать узловые линии. Пластинку посыпают тонким слоем песка и заставляют колебаться, проводя по краю смычком. Тогда мембрана совершает колебания с одной из собственных частот и песок, скатываясь с пучностей, будет скапливаться вдоль узловых линий. Образующиеся при этом фигуры называются фигурами Хладни.