43. Общий случай краевых условий.

Аналогично обе шит дело и в случае общих краевых условий (14.4), когда Я должно удовлетворять трансцендешнодзу уравнению (14.9):

простейшие частные случаи которого мы рассматривали выше. Уравнение (14.9) также имеет бесконечное множество корней, образующих последовательность (см. рис. 51, где жирными линиями изображены графики левой и правой частей уравнения (14.9): сплошной линией — график левой части (тангенсоида) и пунктиром — график правой части).

Нетрудно видеть, что в этом общем случае для больших очень близки к последовательности (14.12) собственных значений для задач А и Б. В соответствующих решениях для общего случая

коэффициенты должны быть связаны соотношением (14.8): и эти решения принимают вид

(14.19)

Ряд

будет решением уравнения (14.6), удовлетворяющим условиям (14.4).

Рис. 51.

Чтобы удовлетворить начальному условию (14.5), мы должны положить

(14.21)

Докажем прежде всего, что система функций к

ортогональна на интервале , т. е. что для

(14.22)

Из определения функций следует, что они удовлетворяют уравнениям

Умножим левую часть первого уравнения на , а второго — на и вычтем одно из другого:

Интегрируя в пределах от 0 до получим

Но и должны удовлетворять условиям (14.8), так что

Учитывая это, мы сразу находим, что

а так как то равенство (14,22) доказано. Записывая разложение (14.21) в виде

находим коэффициенты разложения функции по ортогональной системе функций :

(14.23)

где

Последний интеграл может быть выражен через . Общую формулу ввиду ее громоздкости мы не выписываем; частные случаи приведены в примерах 9 и 10 п. 44. Подставляя выражение (14.23) в формулу (14.20), получим искомое решение задачи в общем случае.