3. Оператор Лапласа в полярных, цилиндрических и сферических координатах.

В этом пункте мы рассмотрим вспомогательный вопрос о выражении оператора Лапласа в различных системах координат; эти выражения понадобятся нам в дальнейшем. Напомним, что трехмерным оператором Лапласа называется выражение

где — функция трех переменных. Если функция и зависит только от двух переменных, то оператор Лапласа

называется двумерным. Начнем с двумерного оператора Лапласа и произведем замену декартовых координат х и у полярными по формулам

Если в функцию подставить вместо их выражения, то получится функция переменных Выразив вторые производные от функции и по и по у через производные по и подставив затем найденные выражения в формулу (19), мы и получим оператор Лапласа в полярных координатах.

По правилу дифференцирования сложной функции

Для отыскания частных производных по х и у выразим из формул (20) . Находим, что отсюда

Поскольку то

Заменяя и у по формулам (20), получим

Подставив (22) и (23) в равенства (21), окончательно найдем выражения частных производных и через переменные и производные по этим переменным:

Перейдем к отысканию вторых производных. Применим к производной опять правило дифференцирования сложной функции

Из равенств (24)

Умножим теперь первое равенство на , а второе на и сложим. Приводя подобные члены, получим

Совершенно аналогично, воспользовавшись соотношением

найдем, что

Складывая (25) и (26), окончательно получим выражение оператора Лапласа в полярных координатах:

Последнее выражение очень часго бывает удобно записать в следующем виде:

Тождественность правых частей формул (28) и (27) легко проверяется дифференцированием.

Перейдем к трехмерному случаю и начнем с цилиндрических координат.

Цилиндрические координаты и связаны с декартовыми соотношениями

Функция преобразуется в функцию . Здесь третья переменная z остается неизменной, и в выражении (27) двумерного оператора Лапласа в полярных координатах добавляется только вторая производная по :

Для сферических координат имеем формулы:

в которых - расстояние точки от начала координат, — угол между радиусом-вектором точки и осью — угол между проекцией радиуса-вектора на плоскость и осью . Здесь непосредственное преобразование производных функции и очень громоздко, и мы его проводить не будем, ограничившись тем, что выпишем окончательное выражение оператора Лапласа в сферических координатах:

Эту формулу часто записывают в виде

Предоставляем читателю проверить тождественность обеих формул.