3. Оператор Лапласа в полярных, цилиндрических и сферических координатах.
В этом пункте мы рассмотрим вспомогательный вопрос о выражении оператора Лапласа в различных системах координат; эти выражения понадобятся нам в дальнейшем. Напомним, что трехмерным оператором Лапласа
называется выражение
где
— функция трех переменных. Если функция и зависит только от двух переменных, то оператор Лапласа
называется двумерным. Начнем с двумерного оператора Лапласа и произведем замену декартовых координат х и у полярными
по формулам
Из равенств (24)
Умножим теперь первое равенство на
, а второе на
и сложим. Приводя подобные члены, получим
Совершенно аналогично, воспользовавшись соотношением
найдем, что
Складывая (25) и (26), окончательно получим выражение оператора Лапласа в полярных координатах:
Последнее выражение очень часго бывает удобно записать в следующем виде:
Тождественность правых частей формул (28) и (27) легко проверяется дифференцированием.
Перейдем к трехмерному случаю и начнем с цилиндрических координат.