Научная библиотека

9. Полубесконечная струна.

Метод решения задачи для бесконечной струны, рассмотренный в п. 7, легко применить и к случаю полубесконечной струны. Мы предположим теперь, что струна в состоянии покоя располагается на положительной полуоси и ее конец, находящийся в начале координат, неподвижно закреплен. Тогда к уравнению колебаний струны

и начальным условиям, заданным при ,

необходимо добавить еще одно краевое условие:

Из условий (2.13) и (2.14) следует, что .

При исследовании этой задачи мы особое внимание уделим колебаниям струны вблизи закрепленного конца и рассмотрим важный вопрос об отражении волн.

Решение уравнения (2.12) при условиях (2.13) и (2.14) йожет быть получено из формулы Даламбера (2.8) следующим образом.

Допустим, что функции определенные сначала только при доопределены нами произвольным образом и при х < 0. Напишем выражение для

Чтобы было равно нулю при всех значениях t, нужно значения функций при выбрать так:

т. е. как говорят, функции продолжить нечетным образом на всю числовую ось. Первое слагаемое формулы (2.15) при этом, очевидно, равно нулю; второе слагаемое также обращается в нуль, потому что мы интегрируем нечетную функцию в интервале, симметричном относительно начала координат. Продолжив таким образом функции на всю числовую ось, напишем формулу Даламбера:

Теперь это выражение определено для всех х и t и при дает решение поставленной задачи. Действительно, функция (2.16) удовлетворяет уравнению (2.12), условиям (2.13) и, в силу доказанного, краевому условию (2.14).

Так же, как и раньше, укажем геометрический способ построения решения в двух случаях: когда (волна отклонения) и когда (волна импульса).

Рассмотрим сначала волну отклонения. Пусть функция отлична от нуля на некотором интервале , где . Продолжая f{x) нечетным образом, определим ее на всей числовой оси (рис. 13).

Начало процесса будет полностью соответствовать случаю бесчонечной струны (см. п. 7); заданное отклонение следует разбить на две полуволны — одна из них будет распространяться вправо, а другая влево.

Рис. 13.

Как только полуволна, бегущая влево, дойдет до начала координат, туда же подойдет и полуволна, бегущая вправо по отрицательной полуоси. В последующие моменты времени эти полуволны начнут накладываться друг на друга, что и соответствует процессу отражения. Весь процесс отражения показан на рис. 14. Сначала отражающаяся волна укорачивается, потом исчезает и наконец переворачивается. (Если начальная форма волны не симметричная, то полного исчезновения отклонений может и не быть.)

Рис. 14.

Таким образом, после того как волна полностью отразилась, отклонения точек меняют свой знак: как говорят, фаза волны изменила знак. После этого по струне побегут вправо с одинаковой скоростью две волны, находящиеся в противоположных фазах. (На рис. 14 изображена только отраженная волна; волна, с самого начала уходившая вправо, не показана.)

Если мы захотим составить аналитическое выражение для функции то опять-таки удобно воспользоваться фазовой плоскостью (рис. 15). Рекомендуем читателю составить выражения для функции при различных значениях При этом необходимо учитывать, что в заштрихованных треугольниках действуют одновременно две волны.

Перейдем к рассмотрению волны импульса и снова будем считать, что только точки участка струны получили постоянные начальные скорости

Рис. 15

Рис. 16

Начало процесса распространения волны полностью соответствует бесконечной струне, но как только левый конец волны подойдет к началу координат, туда же подойдет и правый конец аналогичной волны, распространяющейся от симметричного участка и находящейся в противоположной фазе. Процесс наложения этих волн и образования результирующей отраженной волны изображен на рис. 16 После отражения по струне побежш вправо с постоянной скоростью волна в форме трапеции (Процесс построения лишь чуть-чуть усложнится, если левый конец распространяющейся волны достигнет начала координат раньше, чем в середине интервала отклонение достигнет наибольшего значения.)

В случае конечной струны для получения решения можно было бы применить метод Даламбера, воспользовавшись отражением от обоих концов страны (см. стр. 66). Однако для конечной струны этот метод значительно менее нагляден будем решать эту задачу методом Фурье, к изложен, о которого сейчас и перейдем