§ 7. Электрические колебания в длинных однородных линиях

19. Телеграфное уравнение.

Знакомясь с теорией обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, читатель, наверное, сталкивался с применениями этой теории к расчету электрических цепей переменного тока, содержащих сосредоточенные параметры.

Важнейшим примером такой цепи является колебательный контур, состоящий из последовательно соединенных сопротивления, емкости и индуктивности. При этом считается, что все сопротивление контура сосредоточено только в реостате, т. е. что ни индуктивная катушка, ни соединяющие провода при прохождении электрического тока не выделяют тепла. Точно гак же переменный магнитный поток индуцирует электродвижущую силу только в индуктивной катушке, а токи электрического смещения возникают только между обкладками конденсатора. В курсах электротехники подробно изучается возможность таких предположений; в частности, при периодических процессах они считаются допустимыми, если линейные размеры всех элементов цепи малы по сравнению с длиной электромагнитной волны в окружающем цепь диэлектрике.

Если протяженность цепи сравнима с длиной электромагнитной волны (например, телеграфные линии или линии передачи энергии при практически используемых частотах), то такую цепь уже нельзя характеризовать сосредоточенными параметрами. В этом случае можно говорить о линиях с распределенными параметрами

При изучений таких линий учитывают активное сопротивление проводов, индуктивность линии, угечку тока вследствие несовершенства изоляции проводов, а также взаимную емкость между проводами (или между проводом и землей). Мы будем считать линию однородной; это значит, что ее параметры — сопротивление, индуктивность, проводимость изоляции и емкость — распределены вдоль провода равномерно.

Рассмотрим двухпроводную линию (рис. 28); напряжение между проводами и ток в некоторой точке линии зависят от расстояния этой точки до начала линии и времени t.

Обозначим эти функции соответственно через ; они-то и являются искомыми. (В случае однопроводной линии функция и ) есть потенциал точек линии относительно земли.)

Пусть R — активное сопротивление, L — индуктивность, С—емкость и G-активная проводимость между проводами, рассчитанные на единицу длины провода. Напомним, что индуктивность L есть коэффициент пропорциональности, связывающий индуктивное падение напряжения со скоростью изменения тока, емкость коэффициент пропорциональности между током смешения и скоростыо изменения напряжения, активная проводимость G есть коэффициент пропорциональности между током утечки и напряжением.

Рис. 28.

Для составления дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять функции и выделим участок линии от точки с абсциссой до точки с абсциссой . Если обозначить для краткости через и и I напряжение и ток в точке в момент времени t, то в точке в тот же момент времени значения этих величин (с точностью до бесконечно малых величин высших порядков, чем ) будут равны

Разность напряжений в начале и в конце рассматриваемого участка линии равна сумме падения напряжения на активном сопротивлении, равном , и индуктивного падения напряжения, равного (множитель возникает потому, что характеристики линии рассчитаны на единицу ее длины). Поэтому

т. е.

Далее, изменение тока на этом же участке обусловлено током утечки и током смещения. Следовательно,

откуда

Полученные уравнения (7.1) и (7.2) представляют систему двух уравнений с частными производными пеивого порядка. Из них легко исключить любую из неизвестных функций, например ток. Дифференцируем для этого уравнение (7.1) по х, а уравнение (7.2) по t:

Из второго равенства находим . Выражая еще из уравнения (7.2): и подставляя все в первое из равенств (7.3), получим

или окончательно

Полученное уравнение называется телеграфным уравнением. Рекомендуем читателю проверить самостоятельно, что, исключая функцию гг, мы придем к точно такому же уравнению и для функции V.

Полное исследование уравнения (7.4) (или (7.5)) требует применения специальных методов выходит за рамки книги. Мы ограничимся рассмотрением частных случаев, впрочем играющих значительную роль в электротехнике. При этом сначала отвлечемся от краевых условий, т. е. будем считать линию бесконечно простирающейся в обе стороны.

Предполагается, что в начальный момент, т. е. при , вдоль линии задано распределение напряжения и тока

Пользуясь уравнениями (7.2) и (7.1), легко найти и

Поскольку — , то

Ачало! пчно