22. Линии конечной длины.

Рассчогрим наиболее часто встречающиеся краевые условия в линиях конечной длины l. Если в начале линии (х = 0) включен источник питания с постоянной электродвижущей силой Е, то

Если к началу линии подключено синусоидальное напряжение, то

Если на конце линия коротко замкнут (при однопроводной линии ее конец в этом случае заземлен), то если же конец линии изолирован, то

Из уравнения (7.1) отсюда следует, что

Если считать линию полубесконечной, то поставленные краевые условия при х = 0 приводят к явлению отражения волн напряжения и тока. С математической точки зрения эти задачи аналогичны тем, какие были рассмотрены в § 2 при изучении полубескопечных струн.

Часто встречается случай, когда двухпроводная линия на конце имеет приемник энергии с сопротивлением и индуктивностью (рис 29).

Тогда рассуждая так же, как при выводе уравнения (7.1), получим

Рекомендуем читателю написать краевое условие, если приемник энергии содержит еще и конденсатор.

Рис. 29

Разумеется, можно рассматривать любую комбинацию условий при .

Перейдем к рассмотрению конкретных примеров. Пример 1. Пусть однопроводная линия длины l, свободная от искажений (RC = LG), заряжена до потенциала Е (по отношению к земле). Один конец линии изолирован, а другой в начальный момент заземляется. Найдем распределение потенциала вдоль линии.

Если потенциал обозначить через , то в результате введения новой функции (см. (7.13)) уравнение (7.4), согласно результатам п. 21, обращается в уравнение колебаний струны , где .

Так как , то согласно (7.7) найдем, что

Перейдем к составлению начальных условий для функции Первое остается без изменения: . Так как , то

Краевые условия таковы: Для функции v эги условия имеют тот же вид:

Окончахельно задача формулируется Найти решение уравнения

с начальными условиями

и краевыми условиями

Заметим, что на первый взгляд условия и в противоречат друг другу, так как из первого следует, что и , а из второго . Дело в том, что при заземлении потенциал на конце исчезает не мшовенно, а за ьекоторый малый промежуток времени, в течение которою и происходит непрерывное убывание потенциала. Пренебрегая этим, мы и приходим к нашим условиям.

Уравнение, к которому свелась задача, мы уже решали в § 5, рассматривая продольные колебания стержня. (Рекомендуем читателю самостоятельно восстановить это решение.) Согласно (5.14) решение ищется в виде ряда по собственным функциям

Коэффициенты отыскиваются по формулам (5.15), где . Имеем

Переходя к функции и окончательно получим

Пpимep 2. Пусть у однопроводной линии длины l, для которой соблюдается условие оба конца изолированы. Найдем распределение потенциала вдоль линии, если в начальный момент потенциал распределен по линейному закон , т. е. и

Рассуждая так же, как и в примере 1, получим для функции уравнение начальные условия и краевые условия Если положить, как обычно, то для отыскания собственных функций придем к уравнению с краевыми условиями . В отличие от предыдущих случаев является собственным числом. Действительно, при этом общее решение удовлетворяет обоим краевым условиям при . Мы положим функция найдется из уравнения . Если Краевые условия приводят к уравнениям

Собственные числа суть корни уравнения откуда Собственные функции (здесь к может равняться нулю). Ортогональность собственных функций доказана на стр. 85; впрочем, ее легко установить и непосредственным интегрированием. Функцию запишем в виде ряда

где член отвечает собственному числу

Рекомендуем читателю дальнейшие выкладки проделать самостоятельно и получить следующий ответ:

Любопышо отметить, что если бы в этом примере начальное распределение потенциала было постоянным: , то мы получили бы, что Физически картина в случае в любой момент времени все точки линии имеют одинаковый потенциал, который уменьшается вследствие тока утечки.

Пример 3. Задача о включении линии. Пусть линия длины l без потерь подключается одним концом к источнику переменного тока, электродвижущая сила которого равна . Найдем напряжение линии при условии, на другом конце опа накоротко замкнута и в момент включения напряжение и ток в линии равны нулю.

Функция должна удовлетворять уравнению

при начальных условиях

и краевых условиях

Краевые условия последнего типа нам раньше не встречались; они называются неоднородными условиями.

Метод Фурье здесь непосредственно неприменим, поскольку сумма частных решений, каждое из которых удовлетворяет краевым условиям, уже не удовлетворяет краевому условию при . Поэтому будем отыскивать решение нашей задачи в виде суммы двух функций

каждая из которых является решением уравнения колебаний.

Первую функцию выберем так, чтобы она удовлетворяла только краевым условиям

Для этого положим

где — неизвестная пока функция. Дифференцируя функцию и подставляя в уравнение колебаний, придем (после сокращения на к обыкновенному дифференциальному уравнению для функции ):

при условиях .

Произвольные постоянные в общем решении

определятся из системы

откуда Отметим, что при этом Последнее условие означает, как мы сейчас увидим, что частота внешнего напряжения не совпадает ни с одной из частот собственных колебаний (т. е. нет резонанса).

Следовательно, функция найдена:

Последнее выражение легко преобразовать к более простому виду:

(если бы линия была подключена к источнику с постоянным напряжением как легко проверить, )

Перейдем теперь к отысканию функции Она также удовлетворяет уравнению колебаний, но уже с однородными (нулевыми) краевыми условиями

(Ясно, что при этом удовлетворяет требуемым краевым условиям.)

Начальные же условия для функции уже будут иные. Так как

то, находя и из выражения для функции получим:

Как мы видим, для отыскания функции мы пришли к задаче, подробно разобранной в § 3. По формуле (3.13)

Так как , то все . Коэффициенты находим по формуле (3.17):

Заменяя

и интегрируя, получим

Как уже отмечалось выше, знаменагель ни при каком значении k не обращается в нуль. Числа как раз представляют частоты собственных колебаний.

Беря сумму функций окончательно получаем

Отметим, что задача о включении линии без искажения решается точно так же, но приводит к значительно более громоздким выкладкам, даже в случае подключения постоянной электродвижущей силы.