66. Разделение переменных в трехмерном уравнении Лапласа в сферических координатах. Многочлены Лежандра.

Применим теперь метод Фурье к трехмерному уравнению Лапласа в сферических координатах

Мы рассмотрим здесь наиболее простой и важный случай, когда и не зависит от . Это — так называемый осесимметричный случай, в котором и постоянно на каждом круге широты: .

Тогда уравнение Лапласа принимает вид (после сокращения на общий множитель )

Посмотрим, каковы могут быть решения этого уравнения вида ограниченные в шаре радиуса R с центром в начале координат. Подставляя в уравнение (21.7), находим

или

По стандартному для метода Фурье рассуждеиию, поскольку левая часть уравнения (21.8) не зависит от 0, а правая — от , обе они должны быть постоянными:

где — постоянная разделения, которую опять-таки считаем неотрицательной. Для дальнейших вычислений нам удобнее вместо ввести другую произвольную постоянную v, связанную с соотношением

Тогда первое уравнение (21.9) примет вид

Полагая мы найдем для показателя а уравнение или

Очевидно, что это квадратное уравнение относительно а имеет следующие два корня: Считая мы можем второй из этих корней отбросить, поскольку соответствующая функция обращается в бесконечность при (напомним, что наша цель — найти ограниченные решения).

Таким образом, остается решение .

Вернемся теперь ко второму уравнению (21.9):

Так как сферическая координата изменяется от 0 до то мы должны искать решения уравнения (21.10), ограниченные для всех таких 0. Преобразуем уравнение (21.10), введя вместо новую независимую переменную

(21.11)

При 6, изменяющемся от 0 до изменяется от 1 до —1. Кроме того, при дифференцировании по мы должны учесть, что по правилу дифференцирования сложной функции в силу подстановки (21.11)

и уравнение (21.10) должно быть записано в форме

или

Если мы, кроме того, обозначим зависимую переменную Ф как функцию от через у:

то получим для определения искомой функции у уравнение

называемое уравнением Лежандра. Решения этого уравнения играют важную роль во многих прикладных вопросах. Точки являются особыми для дифференциального уравнения (21.12), и поэтому не все решения уравнения Лежандра будут ограничены на отрезке -(аналогичную картину мы наблюдали для других дифференциальных уравнений этой главы, а также для уравнения Бесселя (см. п. 29)).

Можно показать, что уравнение Лежандра имеет ограниченные решения только в том случае, когда целому числу . Для таких v ограниченными решениями уравнения Лежандра (21.12) являются некоторые многочлены, называемые многочленами Лежандра. Эти многочлены имеют довольно простое замкнутое выражение:

(21.13)

Покажем, что многочлены (21.13) действительно удовлетворяют уравнению (21.12) при . Положим Тогда . Дифференцируя последнее равенство раз но будем иметь

Но по правилу Лейбница дифференцирования произведения (см. [1], п. 54)

а при получим

так как все производные функции порядка выше второго равны нулю. Точно так же по правилу Лейбница при найдем, что

Следовательно, равенство (21.14) может быть также записано в виде

или

Дифференцируя это последнее равенство еще раз по придадим ему вид

или, поскольку

Это показывает, что является решением уравнения (21.12) при , а следовательно, при любой постоянной С и является решением этого же уравнения.

Выбор постоянной С — в многочлене Лежандра (21,13) зависит от условия нормировки: потребуем, чтобы при многочлен Лежандра принимал значение Тогда нужно выбрать С так, чтобы выполнялось условие

По правилу Лейбница, уже использованному выше,

по все члены последнего выражения, начиная со второго, содержат разность в качестве множителя и поэтому обращаются в нуль при . В силу этого

Из условия нормировки (21.15) теперь действительно следует, что

Таким образом, мы установили, что в качестве следует взягь и что, следовательно, ограниченными решениями вида уравнения Лапласа (21.7) будут функции

(21.16)

Рассмотрим некоторые свойства многочленов Лежандра.

1. Многочлен содержит только степени одинаковой с четности, а именно: низшей степенью будет первая, если нечетно, и нулевая, если четно.

В качестве примера приведем первые пять многочленов Лежандра, вычисленных по формуле (21.13):

Графики этих многочленов изображены на рис. 74.

2. При значение и при значение Для всех

Выше (см. формулу (21.15) и связанный с ней текст) уже показано, что Ввиду того, что при четном а при нечетном очевидно и соотношение Графики при четом симметричны относительно оси у, а при нечетном обладают центральной симметрией оаюсительно начала координат.

3. На отрезке многочлены Лежандра сами по абсолютной величине не превосходят единицы:

Для первых пяти многочленов Лежандра это видно из рис. 74, в общем случае мы доказательства не приводим.

4. Многочлен для имеет действительных простых корней, расположенных в интервале Например, на рис. 74 отмечены 4 корня Доказательство в общем случае мы также опускаем.

5. Многочлены Лежандра ортогональны на интервале , т. е. для

(21.17)

Докажем это важное свойство методом, неоднократно применявшимся ранее.

Рис. 74.

Пусть и запишем, что удовлетворяют уравнению Лежандра (21.12) соответственно для :

Умножим первое из этих равенств на , а второе на и вычтем из первого полученного равенства второе:

Нетрудно видеть, что

интегрируя это последнее равенство по в пределах от х = -1 до х = 1, найдем, что

так как последнее выражение из-за множителя обращается в нуль при Учитывая, что мы приходим к равенству (21.17).

6. В приложениях многочленов Лежандра важную роль играет еще формула

(21.18)

которую мы не будем выводить. Ее легко проверить для малых : так, например,

Доказательства всех приведенных свойств многочленов Лежандра имеются в более полных курсах.