39. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности и его физический смысл.

Перейдем теперь к выяснению физического смысла полученного решения (13.17). Как мы уже видели, функция , определенная формулой (13.16), является решением уравнения (13.4). Подставляя мы получим функцию

являющуюся решением исходного уравнения (13.1). Функция зависит от х и t и, кроме того, от произвольного параметра Она называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности и имеет важный физический смысл, связанный с понятием теплового импульса.

Физическим тепловым импульсом мы будем называть следующее начальное распределение температуры:

(см. рис. 44), где — постоянная и

Такое начальное распределение температуры возникает, если в стержень, тем пература которого в каждой точке первоначально равна нулю, в момент на отрезке от до внезапно введено некоторое количество тепла (например, если к этому отрезку на мгновение поднесено высокотемпературное пламя, так что температура этого отрезка в момент подскакивает до значения ). Это количество тепла пропорционально заштрихованной рис. 44 площади , а именно, если S — площадь сечения стержня, т. е. -объем отрезка стержня, — его масса, то где с — удельная теплоемкость.

Рис. 44.

Практически температура, конечно, не может представляться разрывной функцией но график температуры будет очень близок к графику (он будет иметь примерно вид пунктирной линии на рис. 44) и тем меньше отличаться от графика чем резче и кратковременнее будет подогрев. Тот факт, на графике функции температура в точках не определена, не имеет для нас никакого значения (если разрывную функцию ) представить интегралом Фурье, то его значение в этих точках будет равно поэтому можно считать, что и температура равна

При таком физическом тепловом импульсе в качестве начального распределения температуры решение (13.17) задачи теплопроводности будет иметь вид

По теореме о среднем интегрального исчисления

где — некоторая точка, лежащая внутри интервала интегрирования: .

Таким образом, решение (13.19) может быть записано и так:

так как Предположим конкретно, что подведенное количество тепла (чтобы исключить физические параметры стержня). Тогда мы получим решение в случае физического теплового импульса в виде

(13.20)

От физического теплового импульса перейдем теперь к точечному (идеальному) тепловому импульсу, устремляя к пулю. как в наших предположениях то при имеем Кроме того, очевидно, что так что решение (13.20) превратится теперь (для точечного теплового импульса) в функцию

(13.21)

т. е. в фундаментальное решение (13.18) при значении параметра

Точечный тепловой импульс является, конечно, еще в большей мере абстракцией, чем физический импульс на отрезке. Но он также может быть приближенно реализован, если пламя, о котором шла речь выше, будет очень узким.

Математически начальное распределение температуры при точечном импульсе представляется так называемой импульсной функцией Дирака b представляющей как бы предел физического импульса при . Ей приписываются следующие свойства:

(последнее объясняется тем, что при это значит, что температура в точке становится равной ).

так как в наших предположениях при любом (в последнем интеграле нижний предел может быть заменен любым числом, меньшим а верхний — любым числом, большим ).

Итак, фундаментальное решение является решением задачи теплопроводности в бесконечном стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) при начальном распределении температуры

Рассмотрим теперь, как распространяется тепло в стержне после ючечного импульса. Для этого надо исследовать графики фундаментального решения [см. формулу (13.21)] для разных значений . Эти кривые называются кривыми Гаусса (сама функция ( и ее график играют важную роль в теории вероятностей).

Мы установим следующие свойства функции и ее графика.

1. График функции при любом значении t симметричен относительно прямой (см. рис. 45). Максимум достигается при и он равен физических соображений также ясно, что в каждый момент максимальная температура будет в той точке стержня, где был приложен импульс).

Рис. 45.

Если мы рассмотрим фиксированный момент то эта максимальная температура будет обратно пропорциональна коэффициенту температуропроводности (качественно это очевидно из физических соображений: в каждый момент времени максимальная температура но стержню будет тем меньше, чем больше коэффициент внутренней теплопроводности k и чем меньше удельная теплоемкость с и плотность материала стержня).

2. Площадь под каждой кривой равна 1 (см., например, заштрихованную площадь на рис. 45). Чтобы это доказать, вычислим интеграл

В результате замены переменной: он принимает вид

Физически это означает, что количество тепловой энергии, сообщенной стержню в начальный момент в результате импульса, остается неизменным с течением времени.

Рис. 46.

3. В каждой фиксированной точке функция как функция времени t, сначала возрастает от 0 (при ) до некоторого максимального значения и затем монотонно убывает, стремясь к нулю при (см. рис. 46). При функция не определена, и мы имеем в виду ее предел при

Записав последний предел в виде и применив к нему правило Лопигаля, получим

Разумеется, этого заключения нельзя сделать при Также ясно, что

Чтобы найти максимальное значение найдем производную функции по

Приравняв выражение в квадратной скобке нулю, найдем то значение при котором

(Читатель легко проверит, что при этом значении t функция действительно имеет максимум.)

Следовательно,

Таким образом, температура в любой точке сначала повышается до значения а затем убивает и стремится к нулю. Максимально достигаемая температура в точке стержня обратно пропорциональна при этом расстоянию этой точки от точки приложения импульса, а время, необходимое для достижения этой максимальной температуры, прямо пропорционально квадрату указанного расстояния.

Нам остается только применить разъясненный выше физический смысл фундаментального решения (13.18) к физическому толкованию решения (13.17). Решение (13.17) задачи теплопроводности в бесконечном стержне при начальном условии (13.2) может рассматриваться как результат суперпозиции (наложения) температур, возникающих в точке в момент времени t вследствие непрерывно распределенных по стержню тепловых импульсов «интенсивности» в точке , приложенных в момент . Такие импульсы можно приближенно реализовать в виде большого числа языков пламени разной температуры, поднесенных в момент на очень краткий промежуток времени к стержню так, что в каждой точке стержня мгновенно возникает температура (конечно, это очень приближенная картина, однако она наглядно описывает характер происходящего процесса).

Рис. 47.