Научная библиотека

69. Корректность постановки задач математической физики.

Уравнения гиперболического и параболического типов возникают чаще всего при изучении процессов, протекающих во времени (в нашем курсе это были уравнения колебаний, распространения электрических волн, распространения тепла, диффузии). В одномерном случае всегда участвовала одна координата и время

Поэтому канонические уравнения этих типов обычно записываются так:

Для задач, приводящих к таким уравнениям, дополнительные условия разделяются на начальные и краевые.

Начальные условия, как мы видели, состоят в задании при значений искомой функции и и ее производной (в гиперболическом случае) или только значений самой функции (в параболическом случае).

Краевые условия для этих задач заключаются в том, что указываются значения неизвестной функции на концах интервала изменения координаты (в задаче о колебаниях струны это концы струны ), в задаче о распространении электрических колебаний это концы линии, в задаче о линейной теплопроводности это концы стержня и т. д.).

Если процесс протекает в бесконечном интервале изменения координаты (бесконечная струна, бесконечный стержень), то краевые условия отпадают и получается задача только с начальными условиями, или, как ее часто называют, задача Коши.

Если ставится задача для конечного интервала, то должны быть заданы и начальные и краевые условия. Тогда говорят о смешанной задаче.

Уравнения эллиптического типа возникают обычно при исследовании стационарных процессов. Время t в зги уравнения не входит, и обе независимые переменные являются координатами точки. Такими оказываются уравнения стационарного температурного поля, электростатического поля и уравнения многих других физических задач, которые мы в курсе не рассматривали.

Для задач такого типа ставятся только краевые условия, т. е. указывается поведение неизвестной функции на контуре области. Это может быть задача Дирихле, когда заданы значения самой функции; задача Неймана, когда заданы значения нормальной производной искомой функции, и, наконец, задача, когда на контуре задана линейная комбинация функции и ее нормальной производной.

В основных задачах математической физики, рассматривавшихся в настоящей книге, именно физические соображения подсказывали, какие дополнительные условия следует поставить в той или иной задаче, чтобы получить единственное ее решение, отвечающее характеру изучаемого процесса.

Кроме того, следует иметь в виду, что все выведенные уравнения носят идеализированный характер, т. е. отражают лишь наиболее существенные черты процесса. Функции, входящие в начальные и краевые условия, в физических задачах определяются из экспериментальных данных и могут считаться известными лишь приближенно. Поэтому мы должны быть уверены в том, что решения задачи при приближенных исходных данных будут близки к тем решениям, которые получились бы при точных исходных данных. Таким образодг, важно, чтобы малые изменения данных задачи вызывали лишь малые изменения в ее решении, во всей области, в которой эти решения рассматриваются. В этом случае говорят об устойчивости задачи относительно начальных и краевых условий.

Все задачи, рассмотренные в книге, принадлежат к типу задач, имеющих единственное решение, устойчивое относительно исходных данных. Как говорят, эти задачи поставлены корректно.

Исследование корректности более сложных задач математической физики представляет очень важную и трудную задачу теории этих уравнений.