67. Решение задачи Дирихле для шара в осесимметричном случае разложением по многочленам Лежандра.

Осесимметричная задача Дирихле для шара радиуса R с центром в начале координат состоит в определении функции и удовлетворяющей уравнению Лапласа (21.7) для и граничному условию

(21.19)

Выше мы установили, что для решениями уравнения (21.7) являются функции (21.16):

Ввиду линейности и однородности уравнения Лапласа его решением будет также функция

(21.20)

где — произвольные постоянные коэффициенты, которые мы определим так, чтобы функция (21.20) удовлетворяла граничному условию (21.19). Для этого надо потребовать, чтобы по тождественно имело место соотношение

(21.21)

В предположении, что тождество (21.21) имеет место, мы можем эти коэффициенты найти, воспользовавшись свойством ортогональности многочленов Лежандра (свойство 5 в предыдущем п. 66). Действительно, умножим тождество (21.21) на , где — некоторое фиксированное целое число, и проинтегрируем его по граничной сфере радиуса

(21.22)

Элемент площади поверхности сферы и интегрирование по сфере означает интегрирование по в пределах от 0 до и по в пределах от 0 до Поэтому

Здесь интегрирование по дало множитель а последующая замена переменной приводит к последнему интегралу, который по свойствам 5 и 6 многочленов Лежандра равен 0 при при .

Таким образом, в правой части равенства (21.22) все члены суммы, кроме одного, равны нулю; действительно, когда , пробегая все значения от 0 до принимает значения, отличные от фиксированного номера , соответствующий иитеграл равен 0; только в единственном члене суммы соответствующем значению интеграл оказывается отличным от нуля. Следовательно, правая часть равенства (21.22) равна

откуда следует, что

(21.23)

Так как — произвольный фиксированный номер, то мы можем заменить его на и подставить выражение (21.23) в решение (21.20). Тогда мы получим окончательное решение задачи Дирихле для шара радиуса

Мы уже имели выше (см. п. 59) решение задачи Дирихле для шара в виде шпеграла Пуассона в более общем (не осесимметричном) случае зависимости граничной функции и решения от Можно показать, что решение (21.20) совпадает с решением (19.6) из. п. 59 в том частном случае, когда не завист от

Формула (21.20), представляющая решение задачи Дирихле (в осесимметричном случае) в виде ряда по многочленам Лежандра, имеет некоторые преимущества перед решением в виде шпеграла Пуассона. Мы ограничимся только одним простейшим следствием из этой формулы. Очевидно, что если граничные значения (7 (9) сами являются одним из многочленов Лежандра или их конечной линейной комбинацией, то в правой части формулы (21.20) останется только одно или несколько слагаемых, отличных от нуля.

Например, если то в формуле (21.23) итеграл будет отличен от нуля только для и при этом

Таким образом, по формуле (21.20) решением задачи Дирихле для шара радиуса R при граничных значениях будет и Рассмотрим еще один такой пример: пусть представим в виде линейной комбинации многочленов Лежандра:

где . Следовательно, в решении (21.20) от суммы останутся только два отличных от нуля члена, соответствующих и причем

так что решением задачи Дирихле при эгом граничном условии будет

Изложенный выше метод Фурье решения задачи Дирихле для шара применим не только в осесимметричном случае. Однако в общем случае при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах мы получаем вместо уравнения Лежандра (21.12) более сложное уравнение, решения которого — так называемые присоединенные функции Лежандра — тесно связаны с многочленами Лежандра. Соответственно и формула решения в виде ряда примет более сложный вид. Подробнее эти вопросы рассматриваются в специальных руководствах.