50. Распространение тепла в однородном шаре.

В качестве второйпространственной задачи рассмотрим радиальное распространение тепла в однородном шаре радиуса R. Мы предполагаем, что как в начальный, так и в произвольный момент времени температура одна и та же во всех точках, находящихся на одинаковом расстоянии от центра шара. Если ввести сферические координаты, то это означает, что температура зависит только от и t Переходя в общем уравнении (16.10) к сферическим координатам, получим (см. п. 3 введения)

Начальное и краевое условия примем такими же, как в задаче о цилиндре:

(16.27)

(как уже отмечалось, неоднородность краевого условия легко устраняется введением вспомогательной функции).

При решении нам даже не понадобится заново применять метод Фурье. Введем новую неизвестную функцию

(16.28)

Тогда

Уравнение (16.26) преобразуется при этом к виду

Начальное условие примет вид

а краевое останется без изменения:

Кроме того, появится новое условие

В результате мы пришли к задаче о теплопроводности в конечном стержне длины R, на концах которого поддерживается температура, равная нулю, а начальное распределение температур задается функцией . Эта задача уже решена в п. 42 (задача Б).

Согласно формуле (14.17Б) ее решение имеет вид

(16.30)

где коэффициенты определяются по формулам (14.18Б), в коюрых функцию надо замени на

Чтобы вернуться к функщш и на ад найденную -цию разделить на :

Из формулы (16.31) получается, что температура в центре шара будет для любого равна

Если на поверхности шара задано общее краевое условие (однородное)

то для вспомогательной функции v оно преобразуется в следующее.

или

При этом вновь добавляется условие .

Решение задачи с такими краевыми условиями приведено в п. 43, и мы его повторять не будем. Отметим только, что уравнение (14.9) для определения собственных чисел принимает более простой вид:

это соответствует случаю