Заключение

68. Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка.

Как уже отмечалось во введении, общий вид линейного дифференциального уравнения второго порядка при условии, что неизвестная функция и зависит от двух неременных х и у, таков:

Как и раньше, мы предполагаем, что все коэффициенты уравнения постоянны .

Большинство дифференциальных уравнений математической физики, которые изучались в настоящем курсе, представляют частные случаи общего уравнения (1).

Так, если для единообразия обозначений вместо переменной t (времени) писать переменную у, то уравнение свободных колебаний струны (§ 1) примет вид

а уравнение линейной задачи теплопроводности (§ 12)

Наконец, уравнение Лапласа (§ 18) в двумерном случае имеет вид

В уравнении (4) обе вторые частые производные входят в левую часть с одинаковыми знаками, в уравнении (2) — с противоположными знаками, а в уравнении - вторая производная по одной из переменных вовсе не входит.

Л. Эйлер доказал, что любое дифференциальное уравнение вида (1) с помощью замены независимых переменных х и у может быть приведено к одному из следующих трех видов.

1. Если , то после введения новых независимых переменных уравнение (1) причет вид

В этом случае уравнение называется эллиптическим. Наиболее простым эллиптическим уравнением является уравнение Лапласа (4).

2. Если , то уравнению (1) можно придать вид

Такое уравнение называется гиперболическим, простейшим примером его является одномерное уравнение свободных колебаний (2).

3. Если , то уравнение (1) приводится к следующему:

и называется параболическим. Примером его служит уравнение линейной теплопроводности (3).

Наименования уравнений объясняются тем, что при исследовании общего уравнения кривых второго порядка оказывается, что в случае кривая представляет эллипс, в случае — гиперболу и в случае параболу

Уравнения (5), (6) и (7) можно еще более упростить введением новой неизвестной функции. Именно, вводя функцию по формуле

мы можем всегда подобрать числа так, что в эллиптическом и гиперболическом уравнениях исчезнут члены с производными первого порядка, а в параболическом — член с первой производной по одной из независимых переменных (в уравнении (7) по S) и член с самой функцией.

Введение вспомогательной функции по формуле встречалось нам в п. 21 при изучении телеграфного уравнения для линии без искажений (см. формулу (7.13)).

Окончательно любое уравнение вида (1) может быть, с учетом сделанных замечаний, приведено к одному из следующих канонических типов:

(с — постоянное число, g — функция переменных х и у).