49. Распространение тепла в однородном цилиндре

Пусть боковая поверхность бесконечного круглого цилиндра радиуса R поддерживается при постоянной температуре. Если в начальный момент времени температура в каждой точке зависит только от ее расстояния до оси цилиндра, то ясно, что и в последующем температура и будет зависеть лишь от и времени t. Тепловой поток при этом всегда направлен по радиусам цилиндра. Таким образом,

Преобразуем общее уравнение теплопроводности (16.10)

(а — коэффициент температуропроводности) к цилиндрическим координатам, учитывая, что функция и не зависит от (. Придем к уравнению радиального распространения тепла в цилиндре:

Начальное условие имеет вид

(16.16)

где — заданная функция в интервале

Краевым условием будет условие постоянства температуры боковой поверхности цилиндра

(16.17)

Будем считать, что , т. е. что краевое условие (16.3) однородное. В противном случае нужно ввести новую функцию и Уравнение (16.15) не изменится, а начальное и краевое условия примут вид

Применим к решению задачи метод Фурье. Полагая разделим переменные:

(Соображения, в силу которых постоянная в правой части не может быть положительной, приведены при решении задачи о бесконечном стержне на стр. 155.)

Отсюда

Для функции получаем уже знакомое нам уравнение (см. п. 30):

(16.18)

одно частное решение которого выражается через функцию Бесселя пулевого порядка:

Второе линейно независимое решение уравнения (16.18) - функцию Неймана - мы пе принимаем в расчет, так как она обращается в бесконечность при

Чтобы решение удовлетворяло однородному краевому условию, нужно положить

(16.19)

Таким образом, собственными числами задачи являются величины , где - корни функции Бесселя нулевого порядка. Каждому собственному числу соответствует собственная функция

Образуем теперь функцию

(16.20)

и подберем коэффициенты так, чтобы

Полагая придадим последнему ранена вид

после чего, основываясь на условиях ортогональности функций выраженных формулами (10.11), найдем коэффициенты .

Напомним еще, что (см. формулу (10.16) п. 31).

Вычисляя коэффициенты по формулам (16.21) и подставляя в ряд (16.20), мы и завершим решение задачи.

Почти так же решается задача в случае теплоизоляции боковой поверхности цилиндра.

Краевое условие запишется теперь в виде

(нормаль к боковой поверхности цилиндра направлена по радиусу).

Для определения собственных чисел взамен уравнения (16.19) мы получим уравнение или, согласно формуле (10,16),

(16.23)

Таким образом, собственными числами являются величины где v — нули функции Бесселя первого порядка (см. п. 31).

Собственные функции и отличаются от собственных функций предыдущей задачи (постоянство температуры на поверхности цилиндра) только тем, что в аргумент функции Бесселя входяг множителями корни не самой функции , а корни функции . Ряд (46.20) запишется теперь в виде

и, чтобы удовлетворялось начальное условие (16.16), должно соблюдаться равенство

(16.25)

где

Оказывается, что функции в интервале [0, 1) удовлетворяют такому же условию ортогональности, что и функции Это следует из формулы (10.12) п. 30. Напомним, что, согласно этой формуле и примечанию к формуле (10.13), для любых чисел и

Отсюда сразу следует, что при , где правая часть обращается в нуль, так как . Если же , то, полагая и переходя по правилу Лопиталя к пределу при , получим

Из уравнения Бесселя и условия следует, что . Поэтому

Воспользовавшись этим соотношением, сразу получим, что коэффициенты С в формуле (16.25) равны

Подставляя найденные значения С в ряд (16.24), завершим решение задачи.

Общий случай краевых условий может быть рассмотрен точно так же, однако уравнение для отыскания собственных чисел приобретает более сложный вид . Решение этого уравнения и доказательство ортогональности получающихся собственных функций требуют более детального знакомства с теорией бесселевых функций; мы этим заниматься не будем