ЕГЭ и ОГЭ
Хочу знать
Главная > Разное > Передача дискретных сообщений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КОДЫ

Широкое распространение получил класс линейных кодов, которые называются циклическими. Название этих кодов происходит от их основного свойства: если кодовая комбинация принадлежит циклическому коду, то комбинации и т. д., полученные циклической перестановкой элементов, также принадлежат этому коду.

Общим свойством всех разрешенных кодовых комбинаций циклических кодов (как полиномов) является их делимость без остатка на некоторый выбранный полином, называемый производящим. Синдромом ошибки в этих кодах является наличие остатка от деления принятой кодовой комбинации на этот полином. Описание циклических кодов и их построение обычно проводят с помощью многочленов (полиномов). Цифры двоичного кода можно рассматривать как коэффициенты многочлена переменной х.

Поскольку любое число в произвольной системе счисления можно записать в виде

где — основание системы счисления, — цифры этой системы, то переход от двоичного числа к записи в виде многочлена осуществляется следующим образом:

Отсюда видно, что кодовая комбинация длиной описывается многочленом степени . Однако запись кодовой комбинации в виде многочлена не всегда определяет длину кодовой комбинации . Например, при многочлену соответствует кодовая комбинация 00101. Поэтому при переходе к записи в видэ кодовой комбинации необходимо дописывать нулевые старшие разряды.

Кодовые комбинации циклического кода описываются полиномами, обладающими определенными свойствами. Последние определяются свойствами и операциями той алгебраической системы к которой принадлежит множество полиномов. В частности, в этой алгебраической системе, которая носит название поля Галуа (GF(x)), действие над коэффициентами полиномов (сложение, умножение) производится по модулю 2. Умножение полиномов должно производится по модулю некоторого полинома Эти два условия определяют замкнутость указанных операций: их применение не приводит к кодовым комбинациям, длина которые больше длины заданного кода .

Пусть . Сложим два полинома:

Получим

Таким образом, степень полученного полинома не превышает

Умножение полиномов производится по модулю Это означает, что в качестве результата умножения принимается остаток от деления обычного произведения полиномов на полином

Напомним, что умножение чисел по модулю q сводится к тому, что обычное произведение этих чисел делится на q и записывается остаток. Например, имеет в остатке 3 Это число и является результатом умножения по модулю 5

Указанная операция над многочленами не приводит к появлению полинома с большей степенью, чем заданная длина кода.

Рассмотрим код с . Возьмем . Произведем обычное умножение полиномов:

Полином имея степень не принадлежит коду с

Рассмотрим умножение по модулю . При этом полином должен иметь степень . Выберем Находим , т. е.

Таким образом, Полученный остаток и является результатом произведения полиномов по модулю Он именуется вычетом по многочлену

Для того чтобы полиномы, отображающие кодовые комбинации циклического кода, имели нужные свойства, необходимо выполнение двух условий:

1) полиномы должны быть неприводимыми, т. е. не делится ни на какой другой полином;

2) двучлен вида должен делиться на без остатка (имеется в виду обычная операция деления).

Такие полиномы в циклических кодах играют роль порождающих (производящих) полиномов; с их помощью строится заданный циклический код.

Поскольку неприводимый многочлен не может быть представлен в виде произведения многочленов более низших степеней, то проверить это можно простой подстановкой в него корней . Например, имеем . Если можно разложить на множители, то это означает, что уравнение имеет корни . Прямой подстановкой этих корней можно убедиться, что в обоих случаях т. е. этот полином неприводим. Существенно, что степень образующего многочлена совпадает с числом проверочных разрядов циклического кода.

В циклических кодах разрешенными кодовыми комбинациями являются те, которые имеют нулевой вычет по модулю т. е. делятся на образующий полином без остатка. Из всех возможных полиномов степени только 2 полиномов имеют нулевой вычет по модулю Они и образуют множество разрешенных кодовых комбинаций циклического кода.

Циклические коды являются блочными, равномерными и линейными Линейность кодов вытекает из того, что если кодовые слова принадлежат циклическому коду, то их линейная комбинация будет также принадлежать циклическому коду, т. е. обязательно делиться без остатка на образующий полином.

По сравнению с обычными линейными кодами (см. разд. 7 1) на разрешенные кодовые комбинации циклического кода накладывается дополнительное ограничение: делимость без остатка на порождающий полином. Это свойство существенно упрощает аппаратурную реализацию кода.

Обнаружение ошибок в циклическом коде производится делением принятой кодовой комбинации на кодовую комбинацию образующего полинома (вид его должен быть известен на приеме). Остаток от деления играет роль синдрома. Если то считается, что произошли ошибки. Если то комбинация принята правильно.

Возможность исправления одиночной ошибки связана с выбором образующего полинома Точно так же, как и в обычных линейных кодах вид синдрома в циклических кодах зависит от места, где произошла ошибка. В данном случае в качестве синдромов рассматриваются различные остатки от деления полинома ошибки на образующий полином Среди множества полиномов существуют так называемые примитивные полиномы, для которых существует зависимость . Это означает, что при возникновении ошибки в одном из разрядов кодовой комбинации число различных остатков также будет равно . Например, образующий полином дает различных остатков, а образующий полином только пять различных остатков.

Поэтому полином может использоваться для построения циклического кода (15, 11) с исправлением одной ошибки (при ), а полином при только для обнаружения ошибок. (Читателю предлагается самостоятельно проверить свойства указанных полиномов путем деления многочленов ошибки на подсчитывая число различных остатков.)

Признаком примитивных полиномов является наличие остатка, равного единице только для полиномов т. е. число различных остатков равно

Выбор образующего многочлена.

В теории кодирования показано, что степень многочлена следует выбирать равной , где определяется условием — число ошибок, исправляемых циклическим кодом (7.12).

Пример 7.7. Определить для кода с

Примем . Тогда что меньше Возьмем Тогда . Получается код с Этот код обеспечивает кодовое расстояние

В табл. 7.2 приведены образующие (примитивные) полиномы до 10-й степени.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление