7.2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КОДЫ

Широкое распространение получил класс линейных кодов, которые называются циклическими. Название этих кодов происходит от их основного свойства: если кодовая комбинация принадлежит циклическому коду, то комбинации и т. д., полученные циклической перестановкой элементов, также принадлежат этому коду.

Общим свойством всех разрешенных кодовых комбинаций циклических кодов (как полиномов) является их делимость без остатка на некоторый выбранный полином, называемый производящим. Синдромом ошибки в этих кодах является наличие остатка от деления принятой кодовой комбинации на этот полином. Описание циклических кодов и их построение обычно проводят с помощью многочленов (полиномов). Цифры двоичного кода можно рассматривать как коэффициенты многочлена переменной х.

Поскольку любое число в произвольной системе счисления можно записать в виде

где — основание системы счисления, — цифры этой системы, то переход от двоичного числа к записи в виде многочлена осуществляется следующим образом:

Отсюда видно, что кодовая комбинация длиной описывается многочленом степени . Однако запись кодовой комбинации в виде многочлена не всегда определяет длину кодовой комбинации . Например, при многочлену соответствует кодовая комбинация 00101. Поэтому при переходе к записи в видэ кодовой комбинации необходимо дописывать нулевые старшие разряды.

Кодовые комбинации циклического кода описываются полиномами, обладающими определенными свойствами. Последние определяются свойствами и операциями той алгебраической системы к которой принадлежит множество полиномов. В частности, в этой алгебраической системе, которая носит название поля Галуа (GF(x)), действие над коэффициентами полиномов (сложение, умножение) производится по модулю 2. Умножение полиномов должно производится по модулю некоторого полинома Эти два условия определяют замкнутость указанных операций: их применение не приводит к кодовым комбинациям, длина которые больше длины заданного кода .

Пусть . Сложим два полинома:

Получим

Таким образом, степень полученного полинома не превышает

Умножение полиномов производится по модулю Это означает, что в качестве результата умножения принимается остаток от деления обычного произведения полиномов на полином

Напомним, что умножение чисел по модулю q сводится к тому, что обычное произведение этих чисел делится на q и записывается остаток. Например, имеет в остатке 3 Это число и является результатом умножения по модулю 5

Указанная операция над многочленами не приводит к появлению полинома с большей степенью, чем заданная длина кода.

Рассмотрим код с . Возьмем . Произведем обычное умножение полиномов:

Полином имея степень не принадлежит коду с

Рассмотрим умножение по модулю . При этом полином должен иметь степень . Выберем Находим , т. е.

Таким образом, Полученный остаток и является результатом произведения полиномов по модулю Он именуется вычетом по многочлену

Для того чтобы полиномы, отображающие кодовые комбинации циклического кода, имели нужные свойства, необходимо выполнение двух условий:

1) полиномы должны быть неприводимыми, т. е. не делится ни на какой другой полином;

2) двучлен вида должен делиться на без остатка (имеется в виду обычная операция деления).

Такие полиномы в циклических кодах играют роль порождающих (производящих) полиномов; с их помощью строится заданный циклический код.

Поскольку неприводимый многочлен не может быть представлен в виде произведения многочленов более низших степеней, то проверить это можно простой подстановкой в него корней . Например, имеем . Если можно разложить на множители, то это означает, что уравнение имеет корни . Прямой подстановкой этих корней можно убедиться, что в обоих случаях т. е. этот полином неприводим. Существенно, что степень образующего многочлена совпадает с числом проверочных разрядов циклического кода.

В циклических кодах разрешенными кодовыми комбинациями являются те, которые имеют нулевой вычет по модулю т. е. делятся на образующий полином без остатка. Из всех возможных полиномов степени только 2 полиномов имеют нулевой вычет по модулю Они и образуют множество разрешенных кодовых комбинаций циклического кода.

Циклические коды являются блочными, равномерными и линейными Линейность кодов вытекает из того, что если кодовые слова принадлежат циклическому коду, то их линейная комбинация будет также принадлежать циклическому коду, т. е. обязательно делиться без остатка на образующий полином.

По сравнению с обычными линейными кодами (см. разд. 7 1) на разрешенные кодовые комбинации циклического кода накладывается дополнительное ограничение: делимость без остатка на порождающий полином. Это свойство существенно упрощает аппаратурную реализацию кода.

Обнаружение ошибок в циклическом коде производится делением принятой кодовой комбинации на кодовую комбинацию образующего полинома (вид его должен быть известен на приеме). Остаток от деления играет роль синдрома. Если то считается, что произошли ошибки. Если то комбинация принята правильно.

Возможность исправления одиночной ошибки связана с выбором образующего полинома Точно так же, как и в обычных линейных кодах вид синдрома в циклических кодах зависит от места, где произошла ошибка. В данном случае в качестве синдромов рассматриваются различные остатки от деления полинома ошибки на образующий полином Среди множества полиномов существуют так называемые примитивные полиномы, для которых существует зависимость . Это означает, что при возникновении ошибки в одном из разрядов кодовой комбинации число различных остатков также будет равно . Например, образующий полином дает различных остатков, а образующий полином только пять различных остатков.

Поэтому полином может использоваться для построения циклического кода (15, 11) с исправлением одной ошибки (при ), а полином при только для обнаружения ошибок. (Читателю предлагается самостоятельно проверить свойства указанных полиномов путем деления многочленов ошибки на подсчитывая число различных остатков.)

Признаком примитивных полиномов является наличие остатка, равного единице только для полиномов т. е. число различных остатков равно

Выбор образующего многочлена.

В теории кодирования показано, что степень многочлена следует выбирать равной , где определяется условием — число ошибок, исправляемых циклическим кодом (7.12).

Пример 7.7. Определить для кода с

Примем . Тогда что меньше Возьмем Тогда . Получается код с Этот код обеспечивает кодовое расстояние

В табл. 7.2 приведены образующие (примитивные) полиномы до 10-й степени.