7. Производные некоторых основных элементарных функций

В этом пункте мы найдем производные следующих основных элементарных функций: постоянной (константы) степенной функции с натуральным показателем , показательной функции логарифмической функции и тригонометрических функций .

Производные остальных основных элементарных функций будут найдены в последующих пунктах.

1. Производная постоянной Так как функция сохраняет постоянное значение на всей числовой оси, то в произвольно выбранной точке любому приращению аргумента соответствует приращение функции , равное нулю. Поэтому

Итак,

2. Производная степенной функции с натуральным показателем . Пусть х — произвольно выбранная точка, -приращение аргумента в этой точке и — соответствующее приращение данной функции. Тогда по формуле бинома Ньютона

или

Следовательно,

Таким образом,

3. Производная показательной функции Давая приращение произвольно выбранному значению аргумента получим следующее приращение показательной функции:

Следовательно,

так как (см. гл. V, § 2, п. 2, пример 3).

Таким образом,

В частности, при получим

так как

4. Производная логарифмической функции Возьмем любое значение из области определения логарифмической функции и дадим ему приращение Тогда приращение функции

Поэтому

Для того чтобы найти этот предел, сделаем следующее преобразование:

Принимая во внимание, что величина постоянна и что при также и по формуле (25) гл. V, § 2 получим

Итак,

(19)

или

так как

В частности, при получим

так как

5. Производные функций Пусть — приращение произвольно выбранного значения аргумента функции Тогда приращение этой функции

Следовательно,

так как по формуле (18) гл. V, § 1, п. 7

Таким образом,

Аналогично выводится формула для производной функции

Рекомендуем читателю вывести формулу (22) самостоятельно.