3. Дифференцирование неявных функций

Как известно, неявная функция у аргумента задается уравнением

не разрешенным относительно у (см. гл. VI, § 1, п. 15),

Мы знаем, что не всякое уравнение, связывающее х и у, определяет неявную функцию. Например, уравнение

не определяет функции у (мы имеем в виду только действительные значения переменных).

Каким же условиям должно удовлетворять уравнение

чтобы оно определяло неявную функцию у? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема существования неявной функции. Если функция и ее частные производные определены и непрерывны в некоторой окрестности точки и при этом то уравнение

определяет в некоторой окрестности точки единственную неявную функцию непрерывную и дифференцируемую в некотором интервале, содержащем точку причем

Эту теорему мы оставляем без доказательства.

Пусть левая часть уравнения (35) удовлетворяет указанным в теореме условиям. Тогда это уравнение определяет неявную функцию для которой в окрестности точки имеет место тождество

относительно

Так как производная функции, тождественно равной нулю, также равна нулю, то полная производная

Но по формуле (32)

и поэтому

откуда

По этой формуле находится производная неявной функции (одной переменной).

Пример 1. Найти производную неявной функции у, заданной уравнением

Решение. Введем обозначение . Тогда Следовательно, по формуле (36)

В частности, в точке

Пример 2. Найти уравнения касательной и нормали к кривой

в точке

Решение. Находим частные производные первого порядка функции и их значения в точке

Пользуясь формулой (36), вычисляем угловой коэффициент касательной

а затем угловой коэффициент нормали

Теперь находим уравнение касательной

и уравнение нормали