ГЛАВА XI. РЯДЫ

§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

1. Основные определения

Пусть дана последовательность чисел .

Определение. Числовым рядом называется выражение

Числа называются членами ряда; в частности их первый член, - второй член, или общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда как функция его номера .

Приведем несколько примеров рядов:

Определение. Сумма первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда:

Рассмотрим ряд

Составим последовательность частичных сумм этого ряда. Для этого прежде всего заметим, что общий член ряда можно записать следующим образом:

Поэтому

Подобным же образом найдем, что

Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм этого ряда

Рассмотрим еще ряд

Найдем последовательность его частичных сумм:

Эти частичные суммы можно переписать следующим образом:

Отсюда следует, что

Для ряда

последовательность частичных сумм имеет вид

В этом призере последовательность частичных сумм не стремится ни к какому пределу.

Таким образом, для некоторых рядов последовательность частичных сумм стремится к определенному пределу, для других же рядов такой предел не существует.

Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел S последовательности его частичных сумм при неограниченном возрастании номера суммы, т. е.

Определение. Предел S последовательности частичных сумм сходящегося ряда называется суммой ряда.

Если S является суммой сходящегося ряда их то пишут:

Если последовательность частичных сумм ряда не имеет предела, то ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.

Возвращаясь к рассмотренным выше примерам, заключаем, что ряд (3) сходится и его сумма а ряды (4) и (5) расходятся и суммы не имеют.

Ряды являются очень важным аппаратом математического анализа и применяются для вычислений и исследований Как в различных разделах самой математики, так и во многих задачах.